Фазовые переходы симметрия кристаллов - Изюмов Ю.А.
Скачать (прямая ссылка):
GH. Очевидно, что если полином Р(... ,с?,,.инвариантен относительно
группы GH:
0РС..,<,...) = Д(...,<,...),
то он будет инвариантен и относительно группы G.
Итак, задача построения полиномиальных инвариантов для представления ЕР.
пространственной группы G, порядок которой равен N(G), сводится к задаче
построения полиномиальных инвариантов для абстрактной группы / ,
изоморфной фактор-группе G#, построенной на ядре гомоморфизма Я
представления ЕР группы G. Дри этом группа I задается различными
матрицами Dv{gt) представления ЕР группы G. Группу 1 в литературе принято
называть образом НП (термин введен в [6]).
85
Число элементов в группе I может быть еще большим, и построение ЦРБИ для
нее представляет сложную проблему. Однако эту задачу удается разбить на
несколько конечных шагов, сводя всю проблему к построению ЦРБИ для очень
простой группы. Введем понятие нормального ряда группы / - цепочки
подгрупп [8]:
/=С, 3G2 D...DGr=E, (12.2)
для которой G" является нормальным делителем для G"+1. Фактор-группы
G]/G2, G2/G3, G3/G4, . . . называются факторами нормального ряда.
Рассмотрим теперь, как по известному ЦРБИ относительно нормального
делителя Я'группы / (Я'<1/) построить ЦРБИ для самой группы / . Пусть нам
задано некоторое представление D = {, D(a), . . .} группы / конечного
порядка N(1). Нормальным делителем группы / является подгруппа Я'<1 /
порядка N{H'). Через /,, /2, /3, . . . обозначим ЦРБИ относительно группы
I для данной совокупности величин с2, с2, с3,...
... , с/, которые преобразуются по представлению D = { ..., ?>(а) , ... }
, где а € /, следующим образом:
асх =2?>д.м(а)см. (12.3)
м
Ограничение представления D группы / на подгруппе Я' обозначим:
?>(s) ={..., ?>(6),... }, 6€Я.
Пусть/ь /2, /3, . . . - ЦРБИ относительно переменных с,, с2, с3, . . . ,
преобразующихся по представлению D^s * группы Я'.
Рассмотрим, как преобразуются величины /j, /2, . . . под действием
элементов яЕ/. Разобьем группу / на смежные классы по подгруппе Я':
/=2с?Я=2Яс?, (12.4)
? ?
где Cj. - представители разложения. Для любого элемента а ,
принадлежащего смежному классу С/.Я, имеем
aJp=cLJp. (12.5)
Если Jp - инвариант относительно группы Я', то величина С/./р =J^ также
будет инвариантна относительно Я', и для нее будет справедливо
соотношение (12.5).
Возьмем теперь любой инвариант Iq из ЦРБИ группы 1 . Величина Iq
инвариантна относительно любого элемента группы / , в частности
относительно подгруппы Я', поэтому 1Ц можно представить в виде полинома
от инвариантов группы Я':
Iq = Qq ({Jp} ; {JpL) } )• (12.6)
Следовательно, полином P(IX ,/2,... ,/G) - P{{Iq }) можно представить в
виде
P(Uq}) =П •• ,Qq( Up } , (4L)) ),...) =
Рассмотрим случай, когда порядок фактор-группы //Я' равен двум: 1=Н' +сН'
=Н' +Н'с. (12.8)
Обозначим cJp = J'p. Используя соотношения (12.5), видим, что.
cJ'p=c2Jp=Jp. (12.9)
Выражение (12.7) тогда примет вид
Р(Ич})=Р'Шр), Up}). (12.10)
Требование инвариантности полинома^' ({Jp) , { J'p ) ) относительно
группы / , как следует из (12.9), заключается в равенстве
P'iWAJp^P'WlAJp}). , (i2.li)
Если мы обозначим
J \ ~ u2i -h ~ v2 > ¦ ¦ ¦ , Jpi = (12.12)
то выражение (12.11) перепишется в виде
Р'(и i,vi,.. .,zx-,u2,v2,.. ¦ ,z2) = P'(u2,v2,... ,z2;u1,v1,... ,zt).
(12.13)
Теперь может быть использована теорема 1.
Теорема 1 [1,3]. ЦРБИ для полиномов от переменных (uj, i>i, wt, . .. ...
,z1,u2,v2,w2,... ,z2), инвариантных относительно перестановки индексов 1
и 2, состоит из элементов
"1 +u2,Vi +и2,... ,zt + z2;
UXU2,UXV2 + VXU2, . ..,uxz2 + u2zx;
V\V2,V\W2 + WXV2, . . . ,UiZ2 + ZXU2, . . . ,ZXZ2.
На основании этой теоремы, а также соотношений (12.12) можно записать
ЦРБИ для группы I через инварианты ее нормального делителя Я':
1\ = U j + U2 = J\ * J\ ',J2 ~ V2 = ^2 ^2 \ • • ¦ y^G ~ zl%2 ~ JhJH-
(12.14)
Рассмотрим теперь случай, когда фактор-группа //Я' имеет порядок 3,
т.е. N(T)/N(H') = 3. Разложим группу / на смежные классы по
подгруп-
пе Я':
/ = Я' + с1Я' + с1Я'. (12.15)
Таблица умножения для элементов факторгруппы имеет вид
Я' схН' с2Я'
Я' Я' схН' СгН'
схН' С\Н' с2Н' Н'
с2Н' с2Н' Я' с,Я'
(12.16)
87
Используя выражения (12.15) и (12.16), можно записать действие элементов
группы / на величины { Jx,Ji 1ц } '¦
H'Up} ={JP} ,схН' {Jp} =iJjil)} ,с2Н' {Jp} = {jV>} ; (12.17)
схн' up} - upj , cxh' {jp} = up} , (12 lg)
c2H' {jp} = {Jp }, c2H' {JP} = {/p<1>).
Так же как и в предыдущем примере, полиномР(1Х, /2, • • . , Iq) можно
представить в виде
Соотношения (12.20) означают симметрию полиномов относительно циклической
перестановки аргументов {их ,их,_.. },{и2,у2,.. .}и{и3,и3,...}, так что
может быть применена теорема 2.
Теорема 2 [1,3]. ЦРБИ для полиномов от системы переменных (их, vx,wx,. ..
,zx ;u2,v2,... ,z2;u3,v3, w3,... ,z3), инвариантных относительно
циклической перестановки индексов 1,2,3, состоит из элементов
Ui +"2 +"з. ихи2и3, ихи2 + ихи3 +и2"з, ихи2(их -и2) + и2и3(и2 -
и3)+и3их(и3 -Ux) и выражений, получающихся отсюда подстановкой и,-, w,-
