Новейшие проблемы гравитации - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
3.
Метрика равномерно ускоренной системы
ds2 = z2dt2 - dx2 - dy2 - dz2 (10)
может быть преобразована к форме (1) Вейля — Леви-Чивиты с помощью преобразования
t = u Z = e<f>,
(x2 + y2)1/2 = re-<p, (И)
arctg-f- = e,
где
Ф = і- In {[/72 + (Z- а)2]1/2 + (? - а)]}, (12)
а = у1п { у+у - а) tr~2 + (* - «)2Г1/2| (13)
и а — произвольная постоянная.
Это ф, которое мы будем обозначать через ф0, удовлетворяет уравнению Лапласа во всей интересующей нас части пространства, т. е. за исключением области г = Ot Z < а. Как было выяснено ранее, метрика равномерно ускоренной системы представляет только часть пространства-времени и тем самым сингулярность при г = Ot г<а не должна вызывать удивление.
Заметим, что при г > а, дц>Jdz > 0.
Рассмотрим теперь задачу двух тел, подобно тому как это было сделано выще (теорема «3»), но добавим потен- 11. Отрицательная масса в общей теории относительности 317
циал ф0. Это означает, что мы отказываемся от граничного условия, требующего, чтобы пространство на бесконечности имело метрику Минковского, и заменяем его граничным условием, соответствующим равномерно ускоренной системе отсчета в пространстве-времени, которое на бесконечности является плоским. Если оба тела расположены в области г > а и если внутри тела, расположенного в области с меньшим значением z (тело 1), V^p1 <0, в то время как внутри другого тела (тело 2) ^2ф2>0, то при надлежащих условиях соотношение (5) может быть удовлетворено, поскольку в этом случае внутри тела 1 Зф2/Зг < 0 и внутри тела 2 Зф Jdz < 0. Так как 3ф0/3г > 0 в обеих областях, то доказательство, опирающееся на знак подынтегрального выражения и показывающее, что интересующая нас система невозможна, теперь не имеет силы.
Чтобы установить возможность существования исследуемой системы, поступим следующим образом. Пусть B1 и B2, представляют собой две конечные области пространства, Причем B1 целиком лежит В 21<z<z{, a?2-B22<Z<Zj, где z[<z2. Пусть фх удовлетворяет уравнению Лапласа всюду вне Bv причем фх—>0 на бесконечности и ^2фх<0 в Bv Подобным образом, пусть ф2 удовлетворяет уравнению Лапласа вне B2i стремится к нулю на бесконечности, но V5^p2 > 0 в B2- Рассмотрим теперь выражение
Ф = ф0 + А»ф1-Иф2, (14)
где а, входящая в ф0, есть некоторая постоянная, a k и I — постоянные, которые будут определены позже, причем k > 0 и a<zv Если условие (5) выполняется для B1 и B2, то должно иметь место
Bi
__B2
1J Мы опускаем в (15) и (16) член ньютоновского «самодействия» V2Cps (дфs/dz), так как при интегрировании он дает нуль в силу теоремы 1. 318
Г. Бонди
Поскольку уравнение (15) можно сократить на k, его можно рассматривать как уравнение, определяющее /. Кроме того, так как в B1
(17)
dz dz
то I должно быть положительной величиной. Аналогичным образом уравнение (16) определяет некоторое положительное k.
Итак, все условия задачи удовлетворены, и тем самым нам удалось построить модель равномерно ускоренной пары тел, плотности которых имеют противоположные знаки.
В качестве примера можно рассмотреть случай, когда а = О и
Фі =
Ч>2:
ГПл
[r«+(z-*i)al1/a
(г2 + (z-htfxxl),
(18)
§ F + (z - Ai)2] - (r2 + (i-A1)2 < а\),
т2
[гЧ(г-Л2)2]1/г
(г3 + (5-А2)2>а|),
(19)
0 [г2 + (г- Kf]-? (г2+ (і- Zi2)2 < а»).
Здесь, для простоты, можем взять в качестве свободных параметров A1 и A2, а не і и I.
Так как V2(p2 = const в области B21 то условие (16) принимает вид
MMt+^]- (2°) #2
Если а2 < A2 — A1, то это условие эквивалентно
_ =0 (21) I- dz dz J Z=Ti2, г=о
и, таким образом,
W2 = ~ (A1-A1)2 ' (22)
Следовательно, Zn1 — отрицательная величина. 11. Отрицательная масса в общей теории относительности 320
Аналогично, если ах Cft2-A1 и CL1^hv мы должны иметь
_ ,0, (23)
Ч OZ OZ S z=hu г=0
-L =_Tl_. (24)
2 H1 (H2-H1)2
Отсюда следует, что в обоих телах производные ф0 того же порядка величины, что и производные потенциалов, порождаемых самими телами. Если, далее, ньютоновские потенциалы обоих тел малы, то производные от о будут малыми величинами второго порядка, несмотря на добавочные члены, обусловленные ф0. В соответствии с этим плотности имеют больший порядок величины, чем натяжения, и даются при учете лишь членов первого порядка выражением
XQ = 2е2(фо-а<Мр.
Из (12) и (13) имеем в"2
Следовательно,
е-2(Ф0-ог0) = 1 ^ 1 _ (25)
XQ= 12 (26)
Полезно рассмотреть нашу систему с точки зрения галилеевой системы отсчета т, а, б при T = Z = O1). В этом случае тела представляются шарами радиусов а (2А)~1/а с центрами в ? = (2Л)1/а. Плотности определяются равенством (26) и, следовательно, массы равны M = m(2h)~1/2, в то время как ускорения равны (2А)~1/2. В ньютоновском предельном случае ускорения должны определяться соотношением
_1_ * =__M1
(2h2)4* 12 [(2/12)^2-(2^)^2)2
=--Hti__(27)
(2/1^/2((2^/2^.(2^/2)2' V >
*) Здесь ? = <х cos 6, r| = asin6. 320
Г. Бонди
Учитывая (22), находим отсюда
0,-ц» і Н"^'+W1M'
2ft2(2ft1)1^[(2As)1^_(2/!1)1/«]2 (2А,)1/* (2h1)1^(2hi)1'2
