Геометрические идеи в физике - Хокинг С.
Скачать (прямая ссылка):
X < 5с? + 36, (4.8)
Рис. 1. Зависимость Z2 = A2F от эйлеровой характеристики % для решений уравнений Эйнштейна на компактных- многообразиях. В заштрихованных областях решения не существуют. Решения, допускающие кэлерову структуру, заключены в области между кривыми, названными границами Кэлера.
56 С. У. Хокинг
поэтому В пределе при больших X выполняется неравенство
‘ Эти границы и примеры изображены на рис. 1,
предложенном Дж. В. Гиббонсом. При малых значениях х существуют такие примеры, как S\ CP2 и S2X-S2, с отрицательными значениями /. Переход от отрицательных значений к положительным, по-видимому, происходит в точке КЗ, которая соответствует единственному (с точностью до факторизации) компактному многообразию, допускающему положительно определенную метрику с автодуальной кривизной [17, 18]. По-видимому, для любого многообразия с х, большим чем 24 (значение, соответствующее точке /СЗ), константа / имеет положительное значение.
Интересно также рассмотреть число т модулей этих примеров, или, иначе говоря, число свободных параметров, которые они содержат. Для пространств постоянной кривизны т=0, но для гиперповерхностей m ~ */бХ> а Для произведений кривых m == 9х. Все это наводит на мысль, что «большинство» решений заключено в интервале 21? ^ d ^ 2я.
5. Конформные свойства
При конформном преобразовании gab = №gab скаляр Риччи переходит в
R = 6Q'3AQ, (5.1)
где А — конформно инвариантный оператор — ? + R. Действие (с Л-членом) преобразуется к виду
/ Ш = - 8ЇГ 5 (3SiAQ - AQ4) (gf d4x. (5.2)
Следовательно, чтобы вычислить континуальный интеграл для Z[Л], пространство положительно полуопределенных метрик g можно разбить на классы конформной эквивалентности {§}. Введем величину y[{g}, Л], определяемую соотношением
Y = J D [QJexp (-/[ВД. (5.3)
Поскольку оператор А входит в (5.2) со знаком минус, контур интегрирования конформного множителя следует повернуть так, чтобы он расположился параллельно мнимой оси [14]. Тогда мы получим Z, интегрируя по классам конформной эквивалентности метрики
Z[A]=$?[te}]K[te}, Л]. (5.4)
2. Пространственно-временнйя пена 57
Следовательно, Z — среднее от Алр4-теории по всем классам конформной эквивалентности метрики.
Одна точка стационарной фазы интеграла (5.3) для Y возникает при ?2 = 0. Ho действие в этой точке равно нулю независимо от g и А. Более интересная точка стационарной фазы встречается при Й = 4Л. Природа такой точки определяется спектром {Ял, ф„} оператора А, где
Собственные функции ф„ можно пронормировать так, чтобы выполнялось соотношение
Как показано в работе [14], числа отрицательных и.нулевых собственных значений (но не сами значения) оператора А инвариантны относительно регулярного конформного преобразования, т. е. такого, у которого конформный множитель не обращается в нуль. Можно показать, что собственная функция фо, соответствующая наименьшему собственному значению Яо, нигде не обращается в нуль. Следовательно, ее можно использовать в качестве конформного множителя в регулярном конформном преобразовании, переводящем R в Я, знак которого всюду совпадает со знаком Яо. Несколько труднее найти регулярное конформное преобразование в метрику g', такую, что величина h — —l/iR' постоянна и 4-объем V'= 1. Я могу доказать, что метрика g' единственна при Яо ^ 0. Вероятно, g' единственна и при ^ 0, но этого я доказать не могу.
Величина h — функционал на классе конформной эквивалентности {§}. Она достигает локального минимума, равного
— (24)'?, на стандартной метрике на S4 и принимает стационарное значение на каждом решении уравнений Эйнштейна с Л-членом. На каждом таком решении функционал h равен величине /, введенной в предыдущем разделе. Функционал h для метрик в исчислении Редже сохраняет все хорошие свойства даже в тех случаях, когда некоторые из симплексов вырождаются в симплексы меньшей размерности. Правдоподобно поэтому, что такие функционалы h можно задать на пространстве H всех положительно полуопределенных метрик на компактных ориентируемых односвязных многообразиях CO всеми возможными топологиями, допускающими спинорную структуру. Таким образом, пространство H — своего рода бесконечномерное многообразие с «рукавами» и дырами, в числе точек которого содержатся вырожденные (т. е. не положительно определенные) метрики, которые позволяют совершать непрерывный переход
Лф„ = Я„ф„.
(5.5)
(5.6)
S 8 С. У. Хокинг
от одной топологии пространственно-временного многообразия к другой.
Следовательно, А можно представлять себе как функцию, заданную на пространстве H с локальным минимумом на Si и стационарными точками на решениях, о которых шла речь в предыдущем разделе. Поскольку все эти стационарные точки расположены выше локального минимума, следует ожидать, что они седловые, т. е. что гессиан (матрица вторых производных от А) имеет отрицательные собственные значения, причем число их тем больше, чем больше эйлерова характеристика %. «Скатываясь» из седловой точки, можно попасть, проходя через вырожденные метрики, в другую седловую точку, соответствующую меньшему значению эйлеровой характеристики х- Если предположить, что X и т позволяют классифицировать компактные ориентируемые односвязные многообразия со спинорной структурой, и воспользоваться оценками, полученными в предыдущем разделе, то нетрудно прийти к заключению, что число седловых точек при значениях А, меньших некоторого заданного значения Ai или равных Ai, конечно. Однако, как показывает пример многообразия S2 X -S2, А не имеет нижней границы, за исключением, возможно, областей Н, соответствующих метрикам с эйлеровой характеристикой, большей некоторого зна-чения Xi порядка 24 — значения эйлеровой характеристики для КЗ.
