Геометрические идеи в физике - Хокинг С.
Скачать (прямая ссылка):
6. Континуальное интегрирование
Можно надеяться, что интеграл для Z[Л], взятый по Н, Т. е. по всем положительно полуопределенным метрикам на компактных многообразиях CO всеми возможными топологиями, удастся аппроксимировать разложениями в окрестностях точек стационарной фазы, т. е. классических решений. Если параметр Л мал, то по мере удаления от стационарной точки действие претерпевало бы значительные вариации и можно предполагать, что основной вклад в интеграл по траекториям сосредоточен вблизи стационарных точек. Иначе обстояло бы дело при больших Л; в этом случае разложения в ряд по теории возмущений в окрестности различных решений в различных топологиях скорее всего значительно перекрывались бы. Один из способов, возможно позволяющих преодолеть эту трудность, состоит в оценке интеграла (5.3), взятого по конформным множителям, на конкретном представителе ? класса конформной эквивалентности {§}, выделенного условием конформной калибровки R = I, где I — некоторая функция. Производя усреднение по всем калибровкам I с весовым множителем
а = ехр (а [ I2 (g)'1* d*x) и вводя соответствующий определитель
2. Пространственно-временнйя пена 59
Фаддеева — Попова, мы получили бы
Z [Л] = J D [Q] D [g] det [а'М] exp (- I [Q, g}), (6.1)
где
Z = -J-J (ЗЙДЙ - AQ4 - 8яаR2) (g)'u d*х - 16а/2. (6.2)
Последний член в (6.2) включен для того, чтобы на классическом решении выполнялось равенство 7 = 7. С возможным введением дополнительного члена ^RabRab это приводит к перенормируемому, по крайней мере формально, разложению в ряд по теории возмущений в окрестности классического решения. Члены R2 и RabRab, фиксирующие калибровку, по-видимому, расходятся, если метрика становится вырожденной, и поэтому могут ограничить каждое разложение в ряд по теории возмущений единственной топологией. Этот подход (так же как и все действия с высшими производными) сталкивается с множеством проблем, поэтому в настоящей статье я буду оценивать Z [Л] просто в однопетлевом или в ВКБ приближении. Как уже упоминалось, получаемая оценка должна быть разумна при малых Л, но я надеюсь, что она информативна и при Л порядка единицы. Вклад в Z [Л] от точки стационарной фазы или классического решения равен
Z [Л, %] = L [Л, xlexp (-g^v ), (6.3)
где L [Л, х] — однопетлевой член для гравитационных возмущений в окрестности решения. Поведение L при изменении Л определяется аномалией следа или поведением гравитационных возмущений с Л-членом при масштабных преобразованиях [9];
L = А~\
где
v — С ( ^ Q Qabcd I 869 д 2Л / \% J4 ___ 106X I 73/2
У ) I 720я2 L Mcdf- + 1080я2 J ^ 45 + 120л2 ‘
(6.4)
Таким образом, у имеет вид а%, где a ^ 106/45. Такое поведение обусловлено тем, что на каждый инстантон приходится а дополнительных мод. Принятая нами картина пены заставляет ожидать, что In L будет пропорционален числу инстантонов %. Поэтому разумно, по-видимому, принять следующую зависимость:
L-(-5-Г- <6-5)
где величина A0 связана с однопетлевым нормирующим множителем, или регуляризатором
60 С. У. Хокинг
Если предположить, что % п т позволяют классифицировать топологии и что при заданной эйлеровой характеристике х величина / достигает максимума при т = 0, то вклад в Z [Л] от метрик с эйлеровой характеристикой х оказывается порядка
Чтобы сумма величин Z[Л, %] по всем эйлеровым характеристикам X сходилась, параметр Л необходимо выбирать малым и отрицательным. Получающееся выражение для Z [Л] можно продолжить аналитически на положительные значения Л. Выполнив точно обратное преобразование Лапласа от (6.6), мы получим вклад в N(У) от метрик с эйлеровой характеристикой X-'
Ho зависимость от параметров станет более ясной, если обратное преобразование Лапласа вычислить по методу стационарной фазы. В действительности к большей точности не следует и стремиться, так как величина Z [Л, х] вычислена лишь в однопетлевом приближении. Точка стационарной фазы в интеграле
(3.7) соответствует значению Л
Поскольку контур интегрирования должен проходить справа от сингулярности при Л = 0, то квадратный корень следует выбрать со знаком плюс. Поэтому величину Z необходимо продолжить аналитически от отрицательных значений Л, при которых она определена первоначально. Это аналитическое продолжение эквивалентно умножению метрики на мнимый конформный множитель. Такой множитель необходим для сходимости интеграла (5.3), взятого по конформным множителям.
Метод стационарной фазы дает оценку
Эйлерова характеристика, дающая основной вклад в jV(V), определяется уравнением
(6.6)
. 0 при V 5? 0.
(6.8)
(6.9)
dN(V, г) _0
(6.10)
Интегрируя, получаем
• Лв . d2 л
-а|п лГ+8Д7 = 0-
(6.11)
2. Пространственно-временная пена 61
При Л0 > d2/8n из (6.11) следует As ~ Л0, а при A0 С d2/8n имеем As ~ —d2/8na In Ло. И в том и в другом случае из (6.8) мы получаем оценку х ~ cV, где с — некоторая функция от Ло. Она подкрепляет картину пространственно-временной пены, поскольку ее можно интерпретировать как утверждение, что главный вклад в число состояний дают метрики, в которых на объем с-1 приходится один гравитационный инстантон.
