Геометрические идеи в физике - Хокинг С.
Скачать (прямая ссылка):
Статистическую сумму Z [Л] для того, что я называю «объемным каноническим ансамблем», можно ввести следующим образом:
2[Л] = ? Wexp (-(-^r)) |*я). . (3-3)
где V — 4-объем, а сумма берется по полному ортонормированному базису состояний |g> гравитационного поля. При этом неявно предполагается, что метрика компактна и 4-объем имеет смысл. Таким образом, Z [Л] можно представить в виде континуального интеграла:
Z[A] = J DfeJexp(-/[*]), (3.4)
где I>[g]— мера на пространстве всех метрик g,
/[g] = ~ 1$rS(/?-2A)(g),/>d*x (3.5)
— евклидово действие гравитационного поля с учетом Л-члена, а континуальный интеграл берется по всем метрикам на всех
2. Пространственно-временная пена 53
компактных многообразиях. Статистическую сумму Z [Л] можно было бы поэтому считать аналогом функционала Z [Jr], обычно интерпретируемого как амплитуда сопротивления вакуума при наличии источников /. В рассматриваемом случае такая интерпретация не подходит, так как из-за компактности многообразия нет ни начальных, ни конечных асимптотических областей.
Статистическую сумму Z [Л] можно рассматривать как преобразование Лапласа от N(V), где N(V)dV—число состояний гравитационного поля, заключенных в интервале 4-объемов от
V до V+dV:
OO
Z [A]= JjV(lOexp(--^-)dV. (3.6)
о
Тогда N(V)—обратное преобразование Лапласа от Z[А]:
jW=TBtfI 2[Л]Ир(^.)«Л.- (3-7)
— І OO
В (3.7) контур интегрирования проходит справа от любой сингулярности функции Z[Л]. Этим достигается равенство N(V) = = О при 1/^0.
4. Классические решения
Существует определенное число известных положительно определенных метрик, являющихся решениями уравнений Эйнштейна с Л-членом на компактных многообразиях (перечень таких метрик приведен в работах [6, 16]). He следует ожидать, однако, что нам удастся найти в явном виде решения на многообразиях CO сложной топологией. Тем не менее можно получить оценки для действия решений на таких многообразиях.
Будем искать решения уравнения
Rab = ^gab- (4-1)
Из соображений размерности следует, что объем V любого такого решения связан с А соотношением
A = — fV~'l\ (4.2)
где f — константа (положительная или отрицательная), зависящая от топологии и от выбора частного решения, если существует более чем одна топология (что маловероятно). Евклидово действие I (содержащее A-член) определяется выражением
'"=-ет- <4'3>
Нижняя граница константы f равна —(24)'?, что соответствует значению, принимаемому f на 4-мерной сфере. Верхнюю границу
•54 С. У. Хокинг
можно вывести из соотношений (2.1) и (2.2). Для решений уравнения (4.1) эти соотношения имеют вид
X = S (CabcdCabcd + 2 f A2)(g)V*, (4.4)
т *= 4§И c^cabcd (g)'/2 d% (4‘5)
где Cabcd — тензор Вейля и tCabcd = SabefCefcd.Комбинируя со-
отношения (4.4) и (4.5), получаем неравенство
2Х-3|т|>-^; (4.6)
знак равенства достигается в том и только том случае, когда тензор Вейля автодуален или антиавтодуален, т. е. если Cabcd —
— dz*Cabcd-
Из соотношения (4.4) видно, что при больших значениях эйлеровой характеристики справедливо по крайней мере одно из следующих утверждений:
а) /2 велико,
б) интеграл J CabcdCabcd (g)'/г d4x велик.
В первом случае константа / должна быть положительной (а параметр А — отрицательным), так как для нее существует нижняя граница, равная -(24)1?. Во втором случае тензор Вейля должен быть большим. Как и в обычной общей теории относительности, это оказывает фокусирующее действие на геодезические (они сходятся сильнее), аналогичное действию положительного тензора Риччи. Однако между любыми двумя точками в пространстве должна существовать геодезическая минимальной длины, не содержащая сопряженных точек. Следовательно, чтобы кривизна Вейля не сводила геодезические слишком быстро, необходимо ввести отрицательный тензор Риччи или Л-член порядка —CabcdCabcdL2, где L — характерный масштаб длины порядка (число единиц длины, приходящихся
на единицу эйлеровой характеристики). Таким образом, можно ожидать, что оба члена в правой части соотношения (4.4) будут сравнимыми по величине, а константа / будет порядка dtfl*, где d<2(3)%.
Изложенные выше соображения подкрепляются рядом примеров, за которые я весьма признателен Н. Хитчину. Нижняя граница rf=2(3)% достигается на пространствах постоянной кривизны, которые можно, профакторизовав, превратить в компактные с любой эйлеровой характеристикой ит = 0. Пространства постоянной голоморфной секционной кривизны имеют d S= = 6?. Произведения двух 2-мерных пространств постоянной
2. Пространственно-временнйя пена 55
кривизны имеют d = 2п и т = 0. Для алгебраических гиперповерхностей d = 21?. Существует целое семейство пространств,
являющихся пересечением гиперповерхностей в комплексном
проективном пространстве. Им соответствуют значения d, плотные в интервале 21? С d < 2я. Произведения пространств и пространства постоянной кривизны неодносвязны, остальные — односвязны.
Если многообразие допускает кэлерову структуру, то
4ё=с\<Ъ%, (4.7)
где Ci—первое число Черна, которое всегда целое. По теореме Макса Нётера
