Геометрические идеи в физике - Хокинг С.
Скачать (прямая ссылка):
Физический смысл инстантонных решений много тоньше, в частности они очень важны в КХД (некоторые даже думают, что инстантоны могут разрешить проблему удержания кварков!). В настоящее время в физике проявляется огромная активность в этом направлении.
Пионерская работа Янга и Миллса легла краеугольным камнем в основания теоретической физики, где концепция калибровочных полей обусловлена чисто физическими соображениями. Для понимания физики калибровочных полей мы рекомендуем читателю изучить оригинальную статью Янга и Миллса, так как никакой обзор не может сравниться с ясностью изложения авторов. Цель настоящей обзорной статьи — описать для неспециалистов основные аспекты инстантонных и монопольных решений в калибровочной теории Янга — Миллса. Порядок изложения в обзоре скорее логический, чем исторический, поскольку история открытий, особенно в отношении монопольных решений, чрезвычайно запутана.
2. Предварительные математические сведения
Цель этого раздела — ввести условные обозначения и дать математические формулы, которые мы будем использовать в наших вычислениях.
Рассмотрим М-мерное пространство с координатами X11 =
= (xi, X2....хм) (индекс ц принимает значения 1, 2, М).
Метрика этого пространства задается символом Кронекера Swv, где
так что между контравариантными и ковариантными индексами нет различия: X11 зн хВ частности, скалярное произведение любых двух М-векторов O11 и &д. имеет вид
«А = MAv = «1*1 + aA + ¦ ¦ ¦ + амьм, (2.2)
где мы, как и всюду ниже, пользуемся эйнштейновским правилом суммирования по повторяющимся дважды индексам.
3. Инстантоны и монополи в теориях калибровочных полей
67
Полностью антисимметричный ПОСТОЯННЫЙ тензор S1X1, H2, в М-мерном пространстве определим как
+ 1, если Ці, И-аі — четная
перестановка 1, 2, 3, . .М, sM4, Ii2/..., v-м —1, если її і, H2,..., (Xa1 — нечетная (2-3)
перестановка 1, 2, 3, ..М,
О в остальных случаях.
Для тензора є справедливо следующее тождество:
вЦ|, H2,..., HAl8V1. V2,..., Vaj =
|*1-
S11
б,
lIi2-
lIiAl- vI lIiAlV2
бн,. Va1 6и2, Va1 •
б,
uAl- VAl
(2.4)
где I... I обозначает определитель. Таким образом, определитель матрицы Л ну порядка M есть 1
det Л
ЛЇГЄиі’ ....IiAl8V,. v2, .... Va1Ax1, V1Ai2. V2 - . . ^ha1, Va1.
(2.5)
След матрицы Aiiv равен
Tr Aliv = Aviil. (2.6)
Матрицу с нулевым следом будем называть бесследовой. Для любых двух матриц AaB имеем
Tr AB = Tr BA, det (AB) = (det A) (det В). (2.7)
Эрмитово сопряженную и обратную матрицы для матрицы А будем обозначать A+ и Л-1 соответственно. Матрица L является эрмитовой, если L+ = L; она является антиэрмитовой, если L+ = —L, и унитарной, если L+ = L-1.
Дифференцирование по Xv, будем обозначать символом Oil, так что
д Ґ д д д
дх\і V
dxj ’ дх2 ’
дх
Al
)•
(2.8)
Для матрицы, зависящей от %, имеем тождество
Tr (Л~'диЛ) = dgj j <?и det A = дн In det Л. (2.9)
Для любых двух матриц Л и В определим их коммутатор
\А,В}^4В-ВА> (2.10)
68 М. К. Прасад
Имеет место простое тождество
[Idll, А]штд„А, (2.11)
где / — единичная матрица Sliv- Для доказательства (2.11) заметим, что [/дц, А]В = O11(AB) — AdviB = (OixA)B.
Центральную роль в понимании топологии калибровочных полей для нас будет играть теорема Гаусса (о дивергенции) для интегралов в .M-мерном пространстве. Пусть Rm— область М-мерного пространства и Rm-і—(М—1)-мерное подмножество, которое является границей Rm- Точкам М-мерного пространства можно сопоставить M параметров а — 1, 2, ..., М.
Координаты в этом пространстве задаются параметрически уравнениями
~ Xll (Іі> І2> •••> !лі)» Ц = I. 2, ..., М. (2.12)
Зададим элемент «площади» следующим образом:
дх, дх дх
dx^' .... *м 8v>' v*... (dM®> 13)
где (dMl) = d%id%i ... d%M- Теперь теорема Гаусса может быть записана в следующем виде:
Ja^(rf%)= J Zti (2.14)
#Af #Af-l
где
(dMx) ss dx1 dxr2 ... dxM,
Полезно напомнить, что элементы объема в трех- и четырехмерных пространствах равны соответственно
(d3x) = dxx dxr2 dx3 = r2 dr (d2Q2), где r = (X21 + X2 + х2)Ч‘ > 0, и
(d4x) == ixx dxr2 dxz dxA == (<23Q3), (2.16)
где s (x^ + x\ + x\ + x2yls О, а телесные углы в случая M = 3 и M = 4 равны
в J (d2Q2) — 4я и Q3 = J (^3Q3) = 2я2, (2.17)
3. Инстантоны. и монополії в теориях калибровочных полей
69
3. Теория калибровочного поля Янга — Миллса: основные понятия и формулы
Алгебры Ли. Представление алгебры Ли — это множество N антиэрмитовых бесследовых матриц Ta, а = 1, 2, ..., N, удовлетворяющих уравнениям
[Ta, TbI = ^bcTc, (3.1)
где / — (действительные) структурные константы некоторой компактной группы Ли С. Представление T всегда можно выбрать так, чтобы след Tr(TaP) был пропорционален 8аЬ, хотя коэффициент пропорциональности может зависеть от представления. Картановское скалярное произведение определяется следующим образом:
(Ja, Tb) = Ьаь\ (3.2)
таким образом, оно пропорционально следу произведения матриц Ta и Tb.