Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хокинг С. -> "Геометрические идеи в физике" -> 27

Геометрические идеи в физике - Хокинг С.

Хокинг С., Прасад М., Гиббонс Г., Феррара С. Геометрические идеи в физике — М.: Мир, 1983. — 240 c.
Скачать (прямая ссылка): geometricheskieidei1983.djvu
Предыдущая << 1 .. 21 22 23 24 25 26 < 27 > 28 29 30 31 32 33 .. 90 >> Следующая


Физический смысл инстантонных решений много тоньше, в частности они очень важны в КХД (некоторые даже думают, что инстантоны могут разрешить проблему удержания кварков!). В настоящее время в физике проявляется огромная активность в этом направлении.

Пионерская работа Янга и Миллса легла краеугольным камнем в основания теоретической физики, где концепция калибровочных полей обусловлена чисто физическими соображениями. Для понимания физики калибровочных полей мы рекомендуем читателю изучить оригинальную статью Янга и Миллса, так как никакой обзор не может сравниться с ясностью изложения авторов. Цель настоящей обзорной статьи — описать для неспециалистов основные аспекты инстантонных и монопольных решений в калибровочной теории Янга — Миллса. Порядок изложения в обзоре скорее логический, чем исторический, поскольку история открытий, особенно в отношении монопольных решений, чрезвычайно запутана.

2. Предварительные математические сведения

Цель этого раздела — ввести условные обозначения и дать математические формулы, которые мы будем использовать в наших вычислениях.

Рассмотрим М-мерное пространство с координатами X11 =

= (xi, X2....хм) (индекс ц принимает значения 1, 2, М).

Метрика этого пространства задается символом Кронекера Swv, где

так что между контравариантными и ковариантными индексами нет различия: X11 зн хВ частности, скалярное произведение любых двух М-векторов O11 и &д. имеет вид

«А = MAv = «1*1 + aA + ¦ ¦ ¦ + амьм, (2.2)

где мы, как и всюду ниже, пользуемся эйнштейновским правилом суммирования по повторяющимся дважды индексам.
3. Инстантоны и монополи в теориях калибровочных полей

67

Полностью антисимметричный ПОСТОЯННЫЙ тензор S1X1, H2, в М-мерном пространстве определим как

+ 1, если Ці, И-аі — четная

перестановка 1, 2, 3, . .М, sM4, Ii2/..., v-м —1, если її і, H2,..., (Xa1 — нечетная (2-3)

перестановка 1, 2, 3, ..М,

О в остальных случаях.

Для тензора є справедливо следующее тождество:

вЦ|, H2,..., HAl8V1. V2,..., Vaj =

|*1-

S11

б,

lIi2-

lIiAl- vI lIiAlV2

бн,. Va1 6и2, Va1 •

б,

uAl- VAl

(2.4)

где I... I обозначает определитель. Таким образом, определитель матрицы Л ну порядка M есть 1

det Л

ЛЇГЄиі’ ....IiAl8V,. v2, .... Va1Ax1, V1Ai2. V2 - . . ^ha1, Va1.

(2.5)

След матрицы Aiiv равен

Tr Aliv = Aviil. (2.6)

Матрицу с нулевым следом будем называть бесследовой. Для любых двух матриц AaB имеем

Tr AB = Tr BA, det (AB) = (det A) (det В). (2.7)

Эрмитово сопряженную и обратную матрицы для матрицы А будем обозначать A+ и Л-1 соответственно. Матрица L является эрмитовой, если L+ = L; она является антиэрмитовой, если L+ = —L, и унитарной, если L+ = L-1.

Дифференцирование по Xv, будем обозначать символом Oil, так что

д Ґ д д д

дх\і V

dxj ’ дх2 ’

дх

Al

)•

(2.8)

Для матрицы, зависящей от %, имеем тождество

Tr (Л~'диЛ) = dgj j <?и det A = дн In det Л. (2.9)

Для любых двух матриц Л и В определим их коммутатор

\А,В}^4В-ВА> (2.10)
68 М. К. Прасад

Имеет место простое тождество

[Idll, А]штд„А, (2.11)

где / — единичная матрица Sliv- Для доказательства (2.11) заметим, что [/дц, А]В = O11(AB) — AdviB = (OixA)B.

Центральную роль в понимании топологии калибровочных полей для нас будет играть теорема Гаусса (о дивергенции) для интегралов в .M-мерном пространстве. Пусть Rm— область М-мерного пространства и Rm-і—(М—1)-мерное подмножество, которое является границей Rm- Точкам М-мерного пространства можно сопоставить M параметров а — 1, 2, ..., М.

Координаты в этом пространстве задаются параметрически уравнениями

~ Xll (Іі> І2> •••> !лі)» Ц = I. 2, ..., М. (2.12)

Зададим элемент «площади» следующим образом:

дх, дх дх

dx^' .... *м 8v>' v*... (dM®> 13)

где (dMl) = d%id%i ... d%M- Теперь теорема Гаусса может быть записана в следующем виде:

Ja^(rf%)= J Zti (2.14)

#Af #Af-l

где

(dMx) ss dx1 dxr2 ... dxM,

Полезно напомнить, что элементы объема в трех- и четырехмерных пространствах равны соответственно

(d3x) = dxx dxr2 dx3 = r2 dr (d2Q2), где r = (X21 + X2 + х2)Ч‘ > 0, и

(d4x) == ixx dxr2 dxz dxA == (<23Q3), (2.16)

где s (x^ + x\ + x\ + x2yls О, а телесные углы в случая M = 3 и M = 4 равны

в J (d2Q2) — 4я и Q3 = J (^3Q3) = 2я2, (2.17)
3. Инстантоны. и монополії в теориях калибровочных полей

69

3. Теория калибровочного поля Янга — Миллса: основные понятия и формулы

Алгебры Ли. Представление алгебры Ли — это множество N антиэрмитовых бесследовых матриц Ta, а = 1, 2, ..., N, удовлетворяющих уравнениям

[Ta, TbI = ^bcTc, (3.1)

где / — (действительные) структурные константы некоторой компактной группы Ли С. Представление T всегда можно выбрать так, чтобы след Tr(TaP) был пропорционален 8аЬ, хотя коэффициент пропорциональности может зависеть от представления. Картановское скалярное произведение определяется следующим образом:

(Ja, Tb) = Ьаь\ (3.2)

таким образом, оно пропорционально следу произведения матриц Ta и Tb.
Предыдущая << 1 .. 21 22 23 24 25 26 < 27 > 28 29 30 31 32 33 .. 90 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed