Геометрические идеи в физике - Хокинг С.
Скачать (прямая ссылка):
Калибровочные поля. Основные объекты калибровочной теории— это янг-миллсовские калибровочные потенциалы. Калибровочные потенциалы представляют собой множество векторных полей Av(x) (где a = 1,.2, ..., N и ц=1, 2, 3, 4). Матричнозначное векторное поле Ail(X) определяют следующим обра-
зом:
A^gTaAav, (3.3)
где g — постоянная, называемая калибровочной константой связи. Из матричнозначных калибровочных потенциалов строится матричнозначное калибровочное поле напряженностей
Fvv^dvAv—SvAv.+ [Av., Av] = [Idv, + Ли, /dv + 4v]. (3.4)
Как A11, так и Fiiv являются антиэрмитовыми бесследовыми матрицами. В явной компонентной форме FiivSsgTaFvv, где
Favv = dvA% - dvAav + gf abcAbviAcv. (3.5)
Для нас будут полезны как матричная, так и явная компонентная формы калибровочного потенциала и поля напряженностей.
Мы будем применять выражение «статические калибровочные поля» для калибровочных потенциалов, которые не зависят
ОТ Х4.
СТАТИЧЕСКИЕ КАЛИБРОВОЧНЫЕ ПОЛЯ: дДг(*) = 0 (3.6)
(ц = 1, 2, 3, 4).
Слово «статические» используется потому, что Xt можно рассматривать как временную координату, а х\, Ч, как прострав-
70 М. К. Прасад
ственные координаты в полном четырехмерном пространстве {хи х2, х3, х4).
Функционалы действия и энергии. Для калибровочных потенциалов, зависящих от всех четырех евклидовых координат Хц, = (Х\, Х2, Хз, х4), мы определим функционал действия
5ssIirSW (Filv, -F1Xv) = } 5 (Л) F?v/> > 0. (3.7)
Для статических калибровочных полей, которые не зависят от х4, мы определим функционал энергии
</>, Fvlv) = ±\(d3x) FavvFavv >0. (3.8)
Калибровочное преобразование. Как функционал действия S, так и функционал энергии E инварианты относительно следующих преобразований, называемых калибровочными:
A^U-1AvU+ U~\U, м
Fliv U-1FlivU,
где U — e^W0, а Яа(лг) — N произвольных действительных
функций. Если Fvv обращаются в нуль, то All есть калибровоч-
ное преобразование нуля, иными словами, «чистая калибровка».
ЧИСТАЯ КАЛИБРОВКА: Fvv = 0 =>A11 =U~ldvU (ЗЛО)
для некоторого U(x).
При действии калибровочного преобразования (3.9) объект ^xF1Iv преобразуется не так просто, как объект d%Fnv+ [Лх, Fliv]-+ -*¦ U-1 ^jliFliv + [Лх, /7Hv] }U. Поэтому определяется «ковариант-ная» производная
Dv^dv+ Av, (3.11)
так что коммутатор [?>д, Fxv] ведет себя просто при калибровочных преобразованиях.
Уравнения движения Янга — Миллса. Физика калибровочных полей определяется функционалами действия S и энергии Е. Когда к калибровочной теории применяют принципы квантовой механики, кажется, что задачу невозможно решить точно, поэтому прибегают к различным приближенным схемам. В очень важной приближенной схеме, называемой квазиклассической аппроксимацией, обнаруживается, что важные физические конфигурации определяются локальными минимумами функционалов действия 5 и энергии Е. Таким образом, в контексте квазиклассической аппроксимации проводится изучение калибровочных полевых конфигураций, которые локально минимизируют SnE.
3. Инстантоны и монополії в теориях калибровочных полей
71
Экстремумы (не обязательно минимумы!) действия S и энергии E находятся стандартными вариационными вычислениями, которые приводят к следующим уравнениям Эйлера — Лагранжа:
<VVv + [Ax. yVvl = IzV- -Fiivl = O- (3-12)
или в явной компонентной форме
&A + gfabc AbvFciiv = 0. (3.13)
В калибровочной теории уравнения (3.12) и (3.13) называют уравнениями движения Янга —Миллса. Они являются связанными нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных для калибровочного потенциала кажется невероятным, что они могут быть решены точно. Даже если можно найти решения уравнения (3.12), нужно проверить, что они действительно соответствуют локальным минимумам SaE, а не локальным максимумам в функциональном пространстве — проблема, которая сама по себе является достаточно трудной.
Инстантоны и монополії. За последние пять лет было сделано замечательное открытие, которое заключается в следующем:
Для данных граничных условий, определяемых топологическим зарядом, который принимает целые значения, инстантоны и монополи доставляют абсолютные минимумы функционалам действия S и энергии E соответственно.
Приведенное выше утверждение неявно предполагает, что S и E конечны. Топологический заряд q (=0, 1, 2, ...) разбивает калибровочный потенциал на классы по его поведению на бесконечности (в евклидовом пространстве) таким образом, что никакая непрерывная деформация калибровочного потенциала не может изменить q. В математике такие классы известны как гомотопические.
Тождество БьяНки. Рассмотрим тождество Якоби для кова-риантной производной Dil = Ovl + A ^
[DK, [ZV, ZJv]] + [ZV [Dv, ZJjJ] + [Dv, [ZJb ZJJ] sO. (3..14)
Теперь калибровочное поле Fvlv может быть записано в виде
^7IiV = ^ilAv—A11 + [A11, Av] = [ZJia, ZJv]. (3.15)
Умножение тождества Якоби (3.14) на полностью антисимметричный тензор 6jivxp дает
Wil, Viav] = 0, где (3.16)
Тензор tFiiv является дуальным к тензору калибровочного поля Fiiv. В калибровочной теории тождество (3.16) называют тож-деством Бьянки.
