Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
1.8. Двумерные потоки.......................................... 68
1.9. Теорема Пейксото для двумерных потоков.................... 89
Глава 2. Введение в хаос: четыре примера........................ 95
2.1. Уравнение Ван дер Поля.................................... 96
2.2. Уравнение Дуффинга........................................113
2.3. Уравнения Лоренца.........................................125
2.4. Динамика подскакивающего мяча.............................137
2.5. Заключение. Мораль басни..................................153
Глава 3. Локальные бифуркации.....................................154
3.1. Бифуркационные проблемы ..................................155
3.2. Центральные многообразия..................................161
3.3. Нормальные формы..........................................179
3.4. Бифуркации положений равновесия коразмерности один ... 187
3.5. Бифуркации отображений и периодических орбит коразмерности
единица...................................................201
Глава 4. Усреднение и возмущения с геометрической точки зрения212
4.1. Усреднение и отображения Пуанкаре.........................213
4.2. Примеры усреднения........................................218
4.3. Усреднение и локальные бифуркации.........................226
4.4. Усреднение, системы Гамильтона и глобальная динамика:
предостерегающие замечания ................................228
4.5. Метод Мельникова: возмущения плоских гомоклинических
орбит......................................................232
16
Оглавление
4.6. Метод Мельникова: возмущения гамильтоновых систем и субгармонических
орбит.....................................244
4.7. Устойчивость субгармонических орбит......................257
4.8. Гамильтоновы системы с двумя степенями свободы и сохраняющие площадь
отображения плоскости ...................266
Глава 5. Гиперболические множества, символическая динамика и странные
аттракторы.............................................284
5.0. Введение.................................................284
5.1. Подкова Смейла: пример гиперболического предельного
множества...............................................288
5.2. Инвариантные множества и гиперболичность.................294
5.3. Разбиения Маркова и символическая динамика...............309
5.4. Странные аттракторы и постулат устойчивости..............319
5.5. Структурно устойчивые аттракторы.........................324
5.6. Одномерный признак существования странных аттракторов . 334
5.7. Геометрический аттрактор Лоренца.........................340
5.8. Статистические свойства: размерность, энтропия и показатели
Ляпунова.............................................348
Глава 6. Глобальные бифуркации...................................360
6.1. Седловые соединения......................................361
6.2. Числа вращений...........................................367
6.3. Бифуркации одномерных отображений.......................379
6.4. Бифуркации Лоренца......................................386
6.5. Гомоклинические орбиты в трехмерных потоках: пример
Шильникова..............................................395
6.6. Гомоклинические бифуркации периодических орбит...........403
6.7. Дикие гиперболические множества..........................410
6.8. Ренормализация и универсальность.........................424
Глава 7. Локальные бифуркации потоков коразмерности два . . 436
7.1. Вырождение в членах высшего порядка.....................437
7.2. Замечание о к-струях и определенности ..................444
7.3. Двойное нулевое собственное значение.....................449
7.4. Чисто мнимая пара и простое нулевое собственное значение . 464
7.5. Две пары чисто мнимых собственных значений в отсутствие
резонанса...............................................487
7.6. Приложения к многомерным системам........................503
Приложение. Предложения для дальнейшего чтения ..................513
Послесловие, добавленное при втором издании......................516
Послесловие, добавленное при пятом издании.......................520
Оглавление
17
Глоссарий.......................................................522
Литература......................................................527
Предметный указатель............................................554
Глава 1
Введение: дифференциальные уравнения и динамические системы
В этой вводной главе мы сделаем обзор некоторых основных аспектов теории
обыкновенных дифференциальных уравнений с позиции глобального
геометрического подхода, развиваемого в данной книге. Напомнив основные
теоремы существования и единственности, мы рассмотрим линейную однородную
систему с постоянными коэффициентами, а затем перейдем к нелинейным и
зависящим от времени системам, а также к таким понятиям, как отображение
Пуанкаре и структурная устойчивость. Затем мы приведем некоторые наиболее
известные результаты, касающиеся двумерных автономных систем, и закончим
формулировкой и наброском доказательства теоремы Пейксото, важного
