Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
результата, суммирующего большую часть наших знаний о двумерных потоках.
В первых двух разделах мы даем краткий обзор основ теории и рассматриваем
линейные системы х = Ах. Мы полагаем, что читатель в достаточной мере
знаком с этим материалом, а также с фундаментальными понятиями анализа,
используемыми при его обосновании. В большинстве стандартных курсов по
теории обыкновенных дифференциальных уравнений рассматриваются эти
вопросы, и материал, охватываемый этими разделами, подробно изложен,
например, в книгах Hirsh, Smale [1974] и Арнольда [1971]. Мы особенно
рекомендуем первую из них как одно их немногих элементарных введений в
геометрическую теорию обыкновенных дифференциальных уравнений. Так или
иначе, большинство книг по дифференциальным уравнениям содержат свои
версии главных результатов.
1.0. Существование и единственность решений
Для целей данной книги обычно достаточно рассматривать дифференциальное
уравнение как систему
^x = f(x), (1.0.1)
где х = x(t) G К(tm) - векгорнозначная функция независимой переменной
(обычно времени), /:!/-> R" - гладкая функция, определенная на неко-
1.0. Существование и единственность решений
19
тором подмножестве U С R". Мы будем говорить, что векторное поле /
порождает поток <fit: U -> R", где фг(х) = ф(х,б) - гладкая функция,
определенная для всех х из U и значений t из некоторого интервала I = =
(а, Ъ) С R, причем ф удовлетворяет (1) в том смысле, что
\t=T= ЛФ(х,т)) (1.0.2)
для всех х € U и т € I. Заметим, что (в своей области определения)
функция ф1 обладает групповыми свойствами (i) фо = id,1 (и) фг+а = фг°фв-
Системы вида (1.0.1), в которых векторное поле не содержит времени явно,
называются автономными.
Часто нам дано начальное условие
х(0) = хо ? U; (1.0.3)
в этом случае мы ищем решение, для которого
ф(х 0,0) = х0. (1.0.4)
(Мы будем также иногда обозначать это решение как x(xq, t) или просто
x(t).)
В этом случае ф(хо, •): I -> R" задает фазовую кривую, траекторию или
орбиту дифференциального уравнения (1.0.1) с базой в точке хо.2 Поскольку
векторное поле автономной системы (1.0.1) инвариантно относительно
сдвигов времени, решение с базой в моменты to Ф 0 всегда можно
переместить в момент t = 0.
В классических учебниках по обыкновенным дифференциальным уравнениям,
например, Коддингтон и Левинсон [1955], акцентируется внимание на
отдельных фазовых кривых и их свойствах. Здесь мы будем в большей степени
интересоваться семействами таких кривых и, следовательно, глобальным
поведением потока : U -> R", определенного для (всех) точек х ? U; см.
рис. 1.0.1. В частности, важное значение будет иметь понятие гладких
инвариантных многообразий, состоящих из фазовых кривых, обсуждавшееся в
книгах Хартмана [1964] и Hale [1969]. Мы обратимся к нему в следующем
разделе в контексте линейных систем.
Как правило, нам не нужно будет более общее представление о динамической
системе как о потоке на дифференцируемом многообразии М, порождаемом
векторным полем, рассматриваемом как отображение
/: М -> ТМ,
1 Здесь id - тождественный оператор. - Прим. пер.
2С начальным условием в точке жо. - Прим. ред. перев.
20
Глава 1
Рис. 1.0.1. Кривая решения и поток, (а) Кривая решения фг(хо); (Ь) поток
</>(.
где ТМ - касательное расслоение многообразия М. Поэтому нам не
потребуется много сведений из дифференциальной топологии. Интересующимся
можно рекомендовать книгу Chillingworth [1976], содержащую хорошее
введение в эту теорию; смотри также Арнольд [1971]. Почти во всех
случаях, когда мы явно имеем дело с фазовыми пространствами,
представляющими собой многообразия, мы будем иметь глобальную систему
координат (единственную карту), что позволит нам по существу работать в
накрывающем пространстве, т. е. в R(tm) по некоторому подходящему модулю,
как в случаях тора Т2 = R2/Z2 и цилиндра S1 х R = R2/Z. Появление таких
систем типично для векторного поля /, периодичного по (некоторым) своим
аргументам. Мы впервые встретимся с такими системами в разделах 1.4 и
1.5.
При обсуждении таких подмногообразий решений, как устойчивое,
неустойчивое и центральное многообразие, мы будем работать с копиями
вещественных евклидовых пространств, локально определяемых как графики.
Сформулируем теперь без доказательства основную теорему локального
существования и единственности решений (сравни с Коддингтон, Левинсон
[1955], Hirsch, Smale [1974]):
Теорема 1.0.1. Пусть U С R" - некоторое открытое подмножество евклидова
пространства (или дифференциального многообразия М), /: U -> R" -
непрерывно дифференцируемое (класса С1) отображение и хо ? U. Тогда
существуют некоторая константа с > 0 и единственное решение ф(хо, ¦): (-
с, с) -> U, удовлетворяющее дифференциальному уравнению х = f(x) с
начальным условием ж(0) = xq.
На самом деле, функция / должна быть лишь (локально) липшицевой, т. е.
f(y) - f(x)| ^ К\х - у| для некоторого К < оо, где К называется
константой Липшица для /. Следовательно, мы можем иметь дело с кусочно-
