Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
достаточно прямолинейна, и решения обычно ведут себя хорошо.
Во второй главе представлены четыре примера нелинейных колебаний:
знаменитые осцилляторы Ван дер Поля [1927] и Дуффинга [1918], уравне-
Предисловие
11
ния Лоренца [1963] и задача о подпрыгивающем мяче. Мы показываем, что
решения этих задач могут быть заметно хаотичными и что, по-видимо-му, они
обладают странными аттракторами: притягивающими множествами, не
являющимися периодическими или квазипериодическими. В этой главе
изложение не систематизировано, скорее, это предварительный набросок
теории, развиваемой в остальной части книги. Мы рекомендуем читателю либо
бегло пролистать эту главу для получения общего впечатления о теории,
систематически излагаемой в дальнейших главах, либо прочесть ее с
микрокомпьютером в руках, сопровождая обсуждение модельных задач
расчетами.
Затем мы отойдем от хаоса этих примеров, чтобы собраться с силами. Глава
3 содержит обсуждение методов теории локальных бифуркаций для потоков и
отображений, включая центральные многообразия и нормальные формы. Другие,
менее геометрические и более аналитические изложения локальных бифуркаций
можно найти в новых книгах Иосса и Джозефа [1981], а также Chow и Hale [
1982]1.
В главе 4 мы излагаем аналитические методы усреднения и теории возмущений
для изучения нелинейных осцилляторов с периодическим возбуждением и
показываем, что они могут порождать удивительные глобальные результаты2.
Мы заканчиваем эту главу кратким обсуждением хаоса и неинтегрируемости в
гамильтоновых системах и теории Колмогорова-Арнольда-Мозера. Более полные
введения в эту область можно найти в книгах Арнольда [1978], Лихтенберга
и Либермана [1983] или, с большим математическим уклоном, Абрахама и
Марсдена [1978]3.
В главе 5 мы возвращаемся к хаосу, или, скорее, к тщательному анализу
геометрически определенных двумерных отображений со сложными
инвариантными множествами. Подробно обсуждается знаменитая подкова
Смейла, описываются и иллюстрируются методы символьной динамики. Включен
раздел об одномерных (необратимых) отображениях, и мы возвращаемся к
специфическим примерам второй главы, дополняя их и иллюстрируя
аналитические методы. Глава заканчивается кратким обсуждением показателей
Ляпунова и инвариантных мер для странных аттракторов.
В шестой главе обсуждаются глобальные гомоклинные и гетероклин-ные
бифуркации и бифуркации одномерных отображений. Полученные результаты
вновь иллюстрируются примерами из главы 2. В конце концов, в нашей
дискуссии о глобальных бифуркациях двумерных отображений и сложных
гиперболических множествах мы непосредственно выходим на один из
современных рубежей данной области. Мы доказываем, что, в
1 См. также Шильников Л., Шильников А., Тураев, Л.Чуа [1]. - Прим. ред.
2См. МорозовА. [2, 3]. - Прпш. ред.
3Отметим книгу КозловаВ. [4]. - Прим. ред.
12
Предисловие
то время как одномерная теория относительно полна (см. Collet, Eckmann
[1980]), поведение двумерных диффеоморфизмов оказывается значительно
более сложным и не до конца понятым по сей день. Поэтому мы не можем
завершить наш анализ осцилляторов Ван дер Поля и Дуффинга, однако мы
способны ясно разобраться во многих чертах их поведения и точно указать,
что сегодня препятствует дальнейшему анализу.
В заключительной главе мы показываем, как обсужденные выше глобальные
бифуркации вновь возникают в вырожденных локальных бифуркациях, и мы
приводим в конце еще несколько моделей физических проблем, в которых
проявляются эти разнообразные и прекрасные свойства.
На протяжении всей книги мы постоянно возвращаемся к примерам, пытаясь
проиллюстрировать даже наиболее абстрактные результаты. В приложении
предложена литература для дальнейшего чтения. Не претендуя на полноту
приведенной библиографии, мы попытались, однако, включить ссылки на
большое количество статей, монографий, записей лекций и книг, оказавшихся
полезными для нас и наших коллег. Мы сознаем, что наши пристрастия могли
предопределить эклектичность такого выбора.
Мы приводим словарь наиболее важных терминов для удобства читателей, не
имеющих опыта в формальной математике.
Наконец, мы особенно хотели бы выразить свою признательность Bill
Langford, Clark Robinson и David Rod, внимательно прочитавшим книгу, за
советы и мягкую критику, позволившие сделать много исправлений и
усовершенствований.
Nessen MacGiola Mhuris, Xuehai Li, Lloyd Sakazata, Rakesh, Kumarswamy
Hebbale и Pat Hollis, студенты TAM 776 в Корнелльском университете,
выстрадали подготовку этой рукописи и указали на многие опечатки почти
столь же быстро, как они были сделаны. Edgar Rnobloch, Steve Shaw и David
Whitley также прочли и прокомментировали рукопись. Замечания этих и
многих других людей помогли нам улучшить эту книгу, и каждому из
соавторов остается лишь перекладывать ответственность за оставшиеся
ошибки и недочеты на плечи другого.
Barbara Boetcher изготовила иллюстрации по нашим грубым эскизам, a
