Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
Глубокий, темный смысл обретшие в слиянье.
Есть запах чистоты. Он зелен, точно сад,
Как плоть ребенка свеж, как зов свирели нежен. Другие - царственны, в них
роскошь и разврат,
Для них границы нет, их зыбкий мир безбрежен - Так мускус и бензой, так
нард и фимиам Восторг ума и чувств дают изведать нам.
Шарль Бодлер (пер. В. Левина) "Цветы зла", 1857 г.
Предисловие
Вводные замечания
Проблемы динамики восхищали физиков (и человечество вообще) на протяжении
тысячелетий. Среди таких проблем достойны упоминания задачи небесной
механики, в особенности касающиеся изучения движения тел в Солнечной
системе. Попытки Ньютона понять и смоделировать их наблюдаемое движение
привели к обоснованию законов Кеплера и к развитию дифференциального и
интегрального исчисления. Отсюда началось изучение дифференциальных
уравнений в качестве моделей задач динамики.
Несмотря на восхитительную элегантность и простоту таких уравнений,
решение конкретных проблем оказалось весьма трудным и потребовало усилий
многих величайших механиков и математиков восемнадцатого и девятнадцатого
столетий. В то время как для линейных обыкновенных дифференциальных
уравнений была развита относительно полная теория, нелинейные системы
оставались в значительной степени недоступными, если не считать успешного
приложения методов теории возмущений к слабонелинейным задачам. И вновь
наиболее знаменитые и впечатляющие приложения нашлись в небесной
механике.
Анализ оставался излюбленным средством для изучения динамических проблем
до тех пор, пока в работах Пуанкаре конца девятнадцатого столетия не было
показано, что методы теории возмущений могут в некоторых случаях
приводить к неверным результатам вследствие расходимости используемых в
расчетах рядов. Затем Пуанкаре присоединил к анализу геометрию и развил
качественные методы исследования дифференциальных уравнений.
Современные методы качественного анализа дифференциальных уравнений берут
свое начало в этих работах (Poincare [1880, 1890, 1899]), а также работах
Биркгофа [1927], Ляпунова [1949] и других ученых русской школы: Андронова
с соавторами [1937, 1966, 1971, 1973] и Арнольда [1973, 1978, 1982]. В
последние 20 лет исследования развивались взрывообразно. Значительным
стимулом для этого послужила постановка Смейлом в своей классической
статье [1967] нескольких выдающихся проблем. Однако до середины 1970-х
годов новые методы являлись прерогативой "чистых" математиков, хотя было
намечено множество потенциальных приложений. Здесь примечательна работа
Рюэлля и Такенса [1971], указавших на важность "странных аттракторов" при
изучении турбулентности.
8
Предисловие
За последние несколько лет с появлением приложений в механике механизмов,
а также механике твердого тела и жидкости, в сообществах инженеров и
ученых-прикладников широко распространился интерес к странным
аттракторам, хаосу и теории динамических систем. Мы писали эту книгу, в
первую очередь, для членов этих сообществ, обычно не обладающих
необходимой математической базой для непосредственного обращения к
научной литературе. Мы рассматриваем эту книгу прежде всего как
"руководство" в стремительно развивающейся области знаний. Поэтому мы
выбрали для обсуждения только те результаты, которые мы посчитали
имеющими приложение к физическим проблемам, и опустили, в основном,
доказательства тех теорем, которые, по нашему мнению, не служат
иллюстрацией для этого прикладного аспекта. Мы не старались во всех
случаях привести наиболее точные или лучшие результаты, предпочитая
обеспечить читателей той базой, которая позволит им непосредственно
обращаться к научной литературе.
Книга не является исчерпывающим трактатом по динамическим системам. Хотя
она может вызвать раздражение у некоторых специалистов в данной области,
мы надеемся, что она сориентирует их в направлении важных приложений, в
то же время ориентируя ведущих инженеров и физиков в направлении
захватывающих и полезных "абстрактных" результатов. Создавая книгу для
смешанной аудитории, мы старались при изложении результатов достичь
баланса между математической педантичностью и удобочитаемостью для тех,
кто не искушен в формальной математике. Это наиболее заметно, по-
видимому, в способе нашего определения терминов. В то время как главные
новые понятия определяются в традиционной математической манере, т. е. в
виде отдельного абзаца, отмеченного словом Определение, мы определяли
многие более известные термины, выделяя их курсивом при появлении в
тексте. Так, мы дали формальное определение структурной устойчивости на
стр. 63, но определили асимптотическую устойчивость (неподвижной точки) в
тексте стр. 21. Для удобства читателя указатель содержит ссылки на
термины обеих групп.
Мы используем геометрический подход к теории динамических систем.
Достаточно беглого взгляда на книгу, чтобы убедиться, что она обильно
усеяна иллюстрациями - их около 200! Мы повсюду подчеркиваем
геометрические и топологические свойства решений дифференциальных
