Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
поэтому (ж, у) = (0, 0) (нейтрально) устойчиво. Если добавить к системе
вязкое трение а > 0, то уравнение движение примет вид
шж + к( х + ж3) = 0,
(1.0.6)
или, полагая ж = у,
X = у,
(1.0.7)
Соответствующая общая энергия системы имеет вид
(1.0.8)
ж = у,
(1.0.10)
Тогда для той же самой функции Ляпунова получаем
Ё = -ату2,
(1.0.11)
24
Глава 1
что представляет собой величину, отрицательную для всех (.х,у) ^ (0,0),
исключая ось х. Поэтому мы слегка изменим функцию Ляпунова, полагая
Г (2, у) = ^ + 20 +.в(:су+ s!), (1.0.12)
так что
V = туу + к(х + х3)х + Р(ху + ху + ахх) =
= (ту + (Зх) щ (х + х3) - ayj + к(х + х3)у + f3y2 + а(3ху =
= ~/Зщ(х2 + ж4) - (am - (3)у2. (1.0.13)
Если выбрать /3 достаточно малым, V останется положительно определенной,
а V будет строго отрицательна для всех (х, у) ^ (0, 0). Таким образом,
(0, 0) глобально асимптотически устойчиво при а > 0.
Дифференцируя V вдоль фазовых кривых, мы пытаемся проверить, что все
решения пересекают линии уровня функции V "снаружи внутрь". Эскиз линий
уровня функции Е и модифицированной функции V для данного примера
показывает, что у функции V они слегка наклонены, так что векторное поле
нигде их не касается, тогда как даже в присутствие трения векторное поле
касается линий Е = const на оси у = 0 (рис. 1.0.3).
У У
Рис. 1.0.3. Линии уровня функций Ляпунова В и Г и векторное поле
уравнений (1.0.10).
УПРАЖНЕНИЕ 1.0.3. Используя функцию Ляпунова V = гД*2 + сгг/2 + crz2),
получите условия на а, р и (3, достаточные для асимптотической
устойчивости
1.0. Существование и единственность решений
25
начала (х, у, z) = (0, 0,0) в уравнениях Лоренца
х = <т(у - х); у = рх - у - xz; z = -f3z + ху, а, (5 > 0.
Являются ли ваши условия также необходимыми?
Для задач с несколькими положениями равновесия можно искать локальные
функции Ляпунова или попытаться найти некоторую компактную
гиперповерхность S С R(tm) такую, что векторное поле во всех точках S
направлено внутрь нее. Если такая поверхность существует, то любое
решение, начинающееся внутри или на S, никогда не сможет покинуть
внутренности S и поэтому остается все время ограниченным. Мы используем
этот подход позднее в этой книге в нескольких примерах.
Локальная теорема существования (теорема 1) превращается в глобальную во
всех случаях, когда мы имеем дело с компактными многообразиями М вместо
открытых пространств типа R":
Теорема 1.0.3 (Chillingworth [1976], стр. 187-188). Фазовые кривые
дифференциального уравнения х = f(x), х ? М, где М компактно и / ? С1,
определены для всех t ? К.
Так, потоки на сферах и торах определены глобально, поскольку не
существует пути, по которому решение могло бы покинуть такое
многообразие.
Локальную теорему можно дополнить утверждением о "хорошем" характере
зависимости решений от начальных условий (см. Coddington, Levinson
[1955], Hirsch, Smale [1974]):
Теорема 1.0.4. Пусть множество U С R(tm) открыто, а функция /: U -> R"
обладает липшицевой константой К. Пусть y(t), z(t) - решения уравнения х
= f(x) на замкнутом интервале [tojH]- Тогда для всех t ? [to,ti]
|y(t) - z(t)I ^ \y(to) - z(t0)\eK^~ta\
Заметим, что такая непрерывная зависимость не исключает экспоненциально
быстрого разбегания решений, типичного для хаотических потоков, с
которыми нам предстоит встретиться в последующих главах, см. рис. 1.0.4.
Упражнение 1.0.4. Какие из следующих систем порождают глобально
определенные потоки?
(а) х = х, х ? R;
Рис. 1.0.4. Экспоненциальное разбегание соседних решений вблизи седловой
точки.
26
Глава 1
(б) х = ж2, х ? R;
(в) х = 2 + cos ж, ж ? R;
(г) х = cos2 х, х ? S1;
(д) х = -ж3, х ? R;
(е) х = Аж, ж ? Rn, где А - постоянная матрица размерности п
х п.
(Вы можете проинтегрировать все эти уравнения непосредственно, но
для послед-
него из них потребуются сведения из линейной алгебры, приведенные в
следующем разделе.)
Упражнение 1.0.5. Покажите, что уравнение ж = ж2//3 не обладает свойством
единственности решения для всех начальных точек ж(0). При каких условиях
решения единственны? (Этот пример - старинный любимец классических книг
по дифференциальным уравнениям.)
1.1. Линейная система х = Ах
Сделаем сначала обзор некоторых свойств линейной системы
где А - матрица размерности п х п с постоянными коэффициентами. Больше
информации и вспомогательного материала можно найти в стандартном вводном
курсе по дифференциальным уравнениям, например, Braun [1978]; для более
подробного знакомства с алгебраическим аспектом с позиций теории
динамических систем рекомендуется Hirsch, Smale [1974] или Арнольд
Под решением (1.1.1) подразумевается векторнозначная функция x(xq, t),
зависящая от времени t и начального условия
т. е. x(xo,t) - решение задачи Коши (1.1.1)-(1.1.2). В терминах потока ф
мы имеем x(xo,t) = фг(хо). Теорема 1.0.4 гарантирует, что решение x(xq,
t) линейной системы определено для всех t ? К и хо ? R". Заметим, что
такое глобальное существование во времени обычно, как мы уже видели, не
