Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
обсуждать ее здесь (смотри дискуссию о нормальных формах в главе 3).
Если Df(x) не имеет собственных значений с нулевой вещественной частью,
то х называется гиперболической или невырожденной неподвижной точкой и
асимптотическое поведение решений вблизи нее (и, следовательно, тип
устойчивости) определяется при линеаризации. Если какое-то собственное
значение имеет нулевую вещественную часть, то вопрос об устойчивости
нельзя решить по линейному приближению, как показывает следующий пример:
х + ех2х + х = д. (1-3.4)
Переписывая его в виде системы (где х\ = х, Х2 = х),
(?)-(-? ^
найдем собственные значения Л, Л = ±г. Однако если s / 0, то неподвижная
точка (xi, Х2) = (0, 0) не является центром как в линейной системе, а
негиперболическим или слабо притягивающим спиральным стоком1 при е > 0 и
отталкивающим источником2 при ? < 0.
Упражнение 1.3.1. Проверьте, что неподвижная точка (ж1,жг) = (0,0)
является для уравнения (1.3.5), где ? > 0, глобально асимптотически
устойчивой. (Используйте метод функций Ляпунова, ср. уравнение (1.0.10).)
1 Устойчивым фокусом. - Прим. перев.
2Неустойчивым фокусом. - Прим. перев.
1.3. Нелинейная система х - f(x)
33
Прежде чем сформулировать следующий результат, дадим пару определений.
Определим локальное устойчивое и неустойчивое многообразия в
точке х, Wfoc (х) и Wj" (х) так:
W?oc(x) = {х е U 4>t(x) -> х при t -> оо и фг(х) S U для всех t ^
0},
W\oc(x) = {х € U фг(х) -> х при t -> -оо и фг{х) G U для всех t <
0},
(1.3.6)
где U С М" - некоторая окрестность неподвижной точки х. Инвариантные
многообразия Wfoc и Wj"c являются нелинейными аналогами плоских
устойчивого и неустойчивого собственных пространств Е8, Е" линейной
проблемы (1.3.2). Следующий результат говорит о том, что W{oc и W^c в
действительности касаются Е8, Еи в точке х.
Теорема 1.3.2 (об устойчивом многообразии для неподвижной точки).
Допустим, что уравнение х = /(ж) имеет гиперболическую неподвижную точку
х. Тогда существуют локальные устойчивое и неустойчивое многообразия
Wfoc, W^c, имеющие те же размерности ns, пи, что и собственные
пространства Е8, Еи линеаризованной системы (1.3.2), и касающиеся Е8, Еи
в точке х. Wfoc, Wj" имеют ту же гладкость, что и функция /.
Доказательства этих двух теорем можно найти, например, в Hartman [1964] и
Carr [1981] или, в более современном изложении, в Nitecki [1971], Shub
[1978] или Irwin [1980]. Hirsh и др. [1977] содержит более общий
результат. Два этих результата могут быть проиллюстрированы на рис.
1.3.1.
Рис. 1.3.1. Линеаризация и инвариантные подпространства: (а) теорема
Хартмана; (Ь) локально устойчивое и неустойчивое многообразия.
Заметим, что мы еще ничего не сказали о центральном многообразии,
касательном к Ес в точке х, и, по существу, ограничились гиперболически-
а)
Ь)
34
Глава 1
ми случаями, в которых Ес не существует. Мы рассмотрим негиперболические
случаи ниже, когда мы будем иметь дело с теорией бифуркации в главе 3.
Локальные инвариантные многообразия W*oc, Иф"с допускают глобальные
аналогии Ws, Wu, получаемые путем отображения точек из Wfoc вдоль
фазового потока назад во времени и точек из Иф"с вперед во времени:
Существование и единственность решений уравнения (1.3.1) гарантируют, что
два устойчивых (или неустойчивых) многообразия различных неподвижных
точек х1, х не могут пересечься, кроме того, Ws(x) (или Wu(x)) не имеет
самопересечений. Тем не менее, пересечения устойчивого и неустойчивого
многообразий разных неподвижных точек или одной и той же неподвижной
точки могут иметь место и, в действительности, являются источником многих
сложностей, обнаруженных в поведении динамических систем. Глобальные
устойчивое и неустойчивое многообразия не обязаны быть подмногообразиями,
погруженными в М", так как они могут извиваться некоторым сложным
образом, приближаясь к себе произвольно близко. Мы приведем пример
отображения, обладающего такой структурой, в следующем разделе.
Для иллюстрации идей данного раздела рассмотрим простую систему на
плоскости:
имеющую единственную неподвижную точку в начале координат. Для
линеаризованной системы мы имеем следующие инвариантные подпространства:
В данном случае мы можем проинтегрировать нелинейную систему точно.
Вместо того чтобы получить решение в форме (x(t), y(t)), перепишем
(1.3.8) как (линейную) систему первого порядка посредством исключения
времени:
(1.3.7)
wu(x) = у &№(*))¦
О
(1.3.8)
У = -у+ Х ,
.2
Es = {(х,у) е К2 | х = 0}, Еи = {(х,у)€Ж2 \у = 0}.
(1.3.9)
dy
(1.3.10)
dx
х
1.3. Нелинейная система х - f(x)
35
Это уравнение можно проинтегрировать непосредственно и получить семейство
фазовых кривых
у(х) = у + 1- (!-ЗЛ1)
где константа с определяется начальными условиями. Из теоремы 1.3.1 и
формулы (1.3.9) следует, что Т^"с(0, 0) можно представить как график у =
= h(x), причем h(0) = h'(0) = 0, так как Wj"c касается Еи в точке (0, 0).
Следовательно, в (1.3.10) с = 0, и мы имеем
Wu(0,0) = {(x,y)eM.2\y = f}. (1.3.12)
