Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
центральное подпространство, Ес = spanjw1, ..., го(tm)°},
где v1, ..., vn* - собственные (и присоединенные) векторы, отвечающие
собственным значениям с отрицательными вещественными частями, и1, ...,
и"" - собственные (и присоединенные) векторы, отвечающие собственным
значениям с положительными вещественными частями, а векторы w1, ...,
/г"'' отвечают собственным значениям с нулевыми вещественными частями.
Очевидно, ns + пс + пи = п. Данные названия отражают то обстоятельство,
что решения, лежащие на Еп, характеризуются экспоненциальным затуханием
(монотонным или осцилляционным), решения, лежащие на Еи, экспоненциально
растут, а решения из Ес не обладают экспоненциальным ростом или
затуханием. В отсутствие кратных собственных значе-
30
Глава 1
нии решения последнего типа или осциллируют с постоянной амплитудой (если
А, А = ±г/3), или остаются постоянными (если А = 0). Схематический чертеж
приведен на рис. 1.2.1 для двух конкретных примеров.
Рис. 1.2.1. Инвариантные подпространства: (а) три подпространства;
(Ь)
А =
0 1
0 -4
(Еа = span(l, -4), Ес = span(l, 0), Еи = 0);
(с)
А =
-1 -1 0'
1 -1 0
0 0 2
(Еs = span{(l, 0, 0), (1, 1, 0)}, Ес = 0, Еи = (0, 0, 1)).
При наличии кратных собственных значений с различными алгебраическими и
геометрическими кратностями решения на Ес могут возрастать, как
демонстрирует следующее упражнение.
Упражнение 1.2.1. Найдите общие решения линейной системы х = Ах,
х G R2, где
(а) А =
0 0 о о
(Ъ) А =
0 о
1 о
За дополнительной информацией о потоке etA, а также за полной
классификацией двух- и трехмерных систем отсылаем читателя к книгам
Hirsch, Smale [1974] или Арнольд [1971].
1.3. Нелинейная система х - f(x)
31
1.3. Нелинейная система х = f(x)
Мы должны начать с признания, что для большинства нелинейных систем почти
ничего нельзя сделать сверх общих утверждений. В оставшейся части этой
книги мы встретимся с некоторыми прелестями и ужасами таких систем, но
читатель должен помнить, что в этом тексте мы развиваем лишь одно
направление атаки и что любой другой инструмент в мастерской прикладной
математики, включая численное интегрирование, методы возмущений и
асимптотический анализ, может и должен использоваться в отношении
некоторой конкретной задачи.
Напомним, что из основной теоремы о существовании и единственности
решения обыкновенного дифференциального уравнения, приведенной в разделе
1.0, следует, что для гладких функций1 f(x) решение задачи Коши
х = /(ж); х е К", ж(0) = жо (1-3.1)
определено, по крайней мере, в некоторой окрестности t ? (-с, с) точки t
= = 0. Таким образом, локальный поток 4>t: М" -> М" определяется формулой
4>t{жо) = x(t,xo) по аналогии с линейным случаем, хотя, конечно, мы не
можем дать общей формулы типа etA.
Хорошей стартовой точкой для изучения нелинейной системы ж = = /(ж)
является отыскание нулей функции / или неподвижных точек уравнения
(1.3.1). Мы будем также называть их нулями, положениями равновесия или
стационарными решениями. Даже эта задача может оказаться очень сложной,
хотя в большинстве наших примеров это не так. Затем допустим, что мы
имеем неподвижную точку ж, так что /(ж) = 0, и хотим охарактеризовать
поведение решений вблизи ж. Для этого мы линеаризуем (1.3.1) в точке ж,
то есть переходим к изучению линейной системы
i = Df{ x)i, (1.3.2)
где Df = [dfi/dxj] - матрица Якоби, составленная из частных производных
первого порядка функции / = (Д(х\, ..., хп), /э(х\, ..., хп), ... fn(Ж1,
..., хп))Т (Т обозначает транспонирование), ж = ж + ^, |?| <1. Так как
(1.3.2) является линейной системой вида (1.1.1), мы можем легко
исследовать ее. В частности, линеаризованное отображение потока х)?,
порождаемое (1.3.1) в неподвижной точке ж, получается из (1.3.2) путем
интегрирования:
DM x)S = etDf{*k- (1-3-3)
этой книге под гладкостью мы обычно понимаем С°°, если не оговорено
противное. Заметим, что мы не всегда стремимся к достижению оптимальной
гладкости в наших результатах.
32
Глава 1
Важный вопрос состоит в том, что мы можем сказать о решениях уравнения
(1.3.1), исходя из нашего знания уравнения (1.3.2)? Ответом являются два
фундаментальных результата из теории динамических систем, приводимых
ниже: резюмируя их, можно сказать, что локальное поведение (для малых
|?|) допускает перенос в определенных "хороших" случаях.
Теорема 1.3.1 (Хартман-Гробман). Если Df(x) не имеет нулевых или чисто
мнимых собственных значений, то существует гомеоморфизм h, определенный в
некоторой окрестности U точки х в К", локально переводящий орбиты
нелинейного потока <pt уравнения (1.3.1) в орбиты линейного потока etD^x^
уравнения (1.3.2). Этот гомеоморфизм сохраняет направление орбит и может
быть выбран так, чтобы сохранить параметризацию при помощи времени.
Более деликатная ситуация, в которой нелинейные и линейные потоки связаны
диффеоморфизмами (теорема Штернберга), требует определенных условий
отсутствия резонансов между собственными значениями Df(x). Мы не будем
