Теория поглощения и испускания света в полупроводниках - Грибковский В.П.
Скачать (прямая ссылка):
ду
У-г~ -
дх
ij) -f- Е\J5 = 0.
(12.16)
Это уравнение можно преобразовать к уравнению движения гармонического осциллятора в плоскости ху. Оно имеет решения для дискретного набора эквидистантных уровней с номером / (уровни Ландау):
-ху
Ес0 +
n2k2
2т*
+ I +
f)
(12.17)
В то же время для движения в направлении справедливым прежний закон дисперсии
оси z остается
h2k2
2т*
(12.18)
В направлении магнитного поля электрон, движется как свободная частица с эффективной массой т*, а в плоскости,
перпендикулярной оси z, совершает ния с циклотронной частотой сос.
Плотность состояний в зоне проводимости формулой [400, 401]
гармонические колеба-выражается
ёс(Ес) =
1
4л2
2т* \3/2
hiо.
hiо.
1/2
(12.19)
Здесь суммирование распространяется на все целые положительные числа, для которых знаменатель в (12.19) выражается действительным числом. Для больших магнитных полей <ос велико и сумма (12.19) состоит из небольшого числа членов. Если9?-Я), (Ос ^0, суммирование в (12.19) можно заменить интегрированием, что приводит к обычному выражению для плотности состояний (3.8).
205
Рис. 58. Функция плотности состояний в зоне проводимости без магнитного поля (пунктирная кривая) н в магнитном поле (сплошная разрывная кривая)
График функции (12.19) приведен на рис. 58. Там же для сравнения показана зависимость плотности состояний от энергии в отсутствие магнитного поля. Как видно из рисунка, исходные уровни энергии как бы сжимаются в узкие подзоны, расстояние между которыми равно Йсос.
Первая подзона (/=0) смещена относительно дна зоны проводимости вверх на величину /гсос/2. Потолок валентной зоны смещается вниз на величину йсо', где со' — циклотронная частота для дырок.
В целом увеличение ширины запрещенной зоны в магнитном поле на основании (12.15) можно представить в виде
EgW)-Eg(0) =
J
2
1
1
т.
eh К
(12/20)
где т* и т* — эффективные массы электрона и дырки.
Если зона проводимости и валентная зона состоят из нескольких вырожденных или отщепленных подзон, то в каждой ветви зоны уровни Ландау образуются в соответствии со значением эффективной массы носителя. Если к тому же эффективные массы анизотропны, то наложение магнитного поля приводит к необычайно сложной зонной структуре [395, 396].
Модуляционная спектроскопия'. До середины 50-х годов основные исследования по оптике полупроводников относились к области спектра вблизи края фундаментального поглощения и к более длинноволновому участку спектра. Для более коротких длин волн коэффициент поглощения достигает больших значений — порядка 105—106 см~1. Чтобы измерить пропускание в этой области, необходимо брать образцы с толщиной от долей микрона до нескольких микрон. В таких тонких слоях большую роль играет приповерхностный слой (§ 11), и трудно получить надежные воспроизводимые результаты.
Тонкая структура полосы поглощения, соответствующая оптическим переходам в глубь зоны проводимости, затушевы-
206
вается сплошным фоном интенсивного поглощения, чтане позволяет извлекать всей необходимой информации о зонной структуре. Поэтому изучение оптических свойств полупроводников в области их металлического поглощения развивалось медленно.
В последние годы произошли решительные изменения. Это направление исследований начало бурно развиваться. Решающую роль сыграла разработка новых дифференциальных методов измерения тонкой структуры в спектрах поглощения и отражения. Коэффициент поглощения и ранее рассчитывался на основании соотношения Крамерса-Кронига по измеренному спектру отражения. Однако только после разработки методов дифференциальной или модуляционной спектроскопии это соотношение стало эффективным средством изучения оптических свойств полупроводников.
Если обозначить действительную и мнимую части комплексной диэлектрической проницаемости е' через е и ej соответственно, то соотношения Крамерса-Кронига можно представить в виде [2, 111]:
оо
«И-!= — Р (12.21)
я J со 2 — со2
о
оо
г, (со) = — Р Г -1Щ- do', (12.22)
я J со2 — со 2
о
оо
где Р J — главная часть интеграла в смысле Коши. Прирав-
о
нивая по отдельности действительные и мнимые части равенства е + ie1 = (п — Ьс)2, находим связь между оптическими постоянными вещества:
е = п2 ~j- и2, ег = —2/гх. (12.23)
Хотя при измерении показателя преломления и коэффициента поглощения на заданной частоте со можно получить для них любые значения, согласно соотношениям (12.21) и (12.22), функции е(со) и ei(co) в целом не являются независимыми. Если измерена (или задана) одна из них во всем интервале частот от 0 до оо, то тем самым полностью определена и другая.
Трудность в пользовании соотношениями Крамерса-Кронига связана с тем, что для расчета неизвестной функции хотя бы в одной точке, необходимо знать вторую для всех частот. Для преодоления этой трудности обычно широко пользуются экстраполяцией и приближенным заданием значе-
207
ний е'. Так, если концентрация свободных носителей пренебрежимо мала, то для частот h(a<Eg можно положить [402]
е = const, ех = 0.
Для частот, превышающих среднюю частоту междузонных переходов со/к, справедлива формула (Л = const):
