Сборник задач по квантовой механике - Гольдман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
15. На писать уравнение Шредингера в "р" представлении для частицы,
движущейся в периодическом потенциальном поле V(х) = V(x-{-b).
16. Определить зоны разрешенной энергии для частицы, движущейся в
периодическом потенциальном поле, изобра-
i V(xi
I
I
i
^Т__Г1_П_ .
-b 0 a a+b x Рис. 5.
женном на рис. 5. Исследовать предельный случай V0->oot b0 при условии,
что
V0b = const.
17. Для потенциала V =-------определить в квази-
ch2 - а
классическом приближении уровни энергии и полное число дискретных
уровней.
18. Определить в квазиклассическом приближении спектр энергии частицы в
поле:
а) V - (осциллятор);
б) V=V0ctg^x (0 <х<а).
19. Определить в квазиклассическом приближении среднее значение
кинетической энергии стационарного состояния.
20. Используя результат предыдущей задачи, найти в квазиклассическом
приближении среднюю кинетическую энергию частицы в поле:
§ 2]
ПРОХОЖДЕНИЕ ЧЕРЕЗ БАРЬЕР
9
б) V ^^ctg2 - (0 < л; < а) (см. задачу 18).
21. Определить вид энергетического спектра частицы в поле V(x) = ax',
используя квазиклассическое приближение и применяя теорему вириала.
22. Определить вид потенциальной энергии V (л;) по энергетическому
спектру Еп в квазиклассическом приближении. V(х) считать четной функцией
V(x) - V(-лг), монотонно возрастающей при х > 0.
§ 2. ПРОХОЖДЕНИЕ ЧЕРЕЗ БАРЬЕР
1. При изучении эмиссии электронов металлами необходимо принять во
внимание то обстоятельство, что электроны с энергией, достаточной для
выхода из металла, согласно квантовой механике, могут отражаться от
границы металла. Рассматривая одномерную модель с потенциалом V-- - V0
Рис. 6.
при х < 0 (внутри металла) и V - 0 при х > 0 (вне металла) (рис. 6),
определить коэффициент отражения электрона с энергией Е^> 0 от
поверхности металла.
2. В предыдущей задаче предполагалось, что потенциал на границе
металла изменяется скачкообразно. В действительности это изменение
потенциала происходит непрерывно в области, размеры которой порядка
междуатомных расстояний в металле. Аппроксимируя потенциал вблизи
поверхности . металла, с помощью функции
V --------------- (см. рис. 7)
еа + 1
10
ЗАДАЧИ
определить коэффициент отражения электрона с энергией Е > 0.
3. Определить коэффициент прохождения частицы через прямоугольный
барьер (см. рис. 8).
V[x]
К
1 п Ш
0 а
X
Рис. 8.
4. Определить коэффициент отражения частицы от прямоугольного барьера
в случае Е > V0 (надбарьерное отражение).
б. Вычислить коэффициент прохождения через потенциальный барьер 1/(я)
=
= -Vq (рис. 9) пото-
с№ -
О > ¦ а
р о ка частиц, движущих-
ИС' ' ся с энергией Е <С V0.
6. Вычислить в квазиклассическом приближении коэффициент прохождения
электронов через поверхность металла
ПРОХОЖДЕНИЕ ЧЕРЕЗ БАРЬЕР
11
под действием сильного электрического поля напряженности F (рис. 10).
Найти границы применимости расчета.
Рис. 10.
7. Изменение потенциала вблизи поверхности металла происходит в
действительности непрерывно. Так, например,
?
потенциал электрического изображения ^ дей-
ствует на больших расстояниях от поверхности. Определить
Рис. 11.
коэффициент прохождения D электронов через поверхность металла в
электрическом поле с учетом силы электрического изображения (рис. 11).
8. Определить приближенно уровни энергии и волновые функции частицы в
симметричном потенциальном поле
12
ЗАДАЧИ
(см. рис. 12), если Е V0 и проницаемость барьера мала b2 l) .
Рис. 12.
9. Симметричное поле V (х) представляет собой две потенциальные ямы,
разделенные барьером (см. рис. 13). Считая выполненным условие
квазиклассичности, определить уровни
энергии частицы в поле V (х). Сравнить полученный энергетический спектр с
энергетическим спектром отдельной ямы. Найти расщепление энергетических
уровней отдельной ямы. Указание. См. приложение I.
10. Предположим, что до момента времени t - 0 между двумя симметричными
потенциальными ямами (см. предыду-
ПРОХОЖДЕНИЕ ЧЕРЕЗ БАРЬЕР
13
щую задачу) существовала непроницаемая перегородка и частица находилась в
левой яме в стационарном состоянии.
Определить, по прошествии какого времени т после удаления перегородки
частица окажется в правой яме.
11. Поле V(х) представляет собой N одинаковых потенциальных ям,
разделенных одинаковыми потенциальными
Рис. 14.
барьерами (см. рис. 14). Считая выполненным условие квазиклассичности,
определить уровни энергии в поле V (х).
Сравнить полученный энергетический спектр с энергетическим спектром
отдельной ямы.
12. Считая выполненными условия квазиклассичности, найти
квазистационарные уровни частицы в симметричном поле, изображенном на
рис. 15.
Найти также коэффициент прохождения D(E) для частиц с энергией Е < l^.
14
ЗАДАЧИ
§ 3. ПЕРЕСТАНОВОЧНЫЕ СООТНОШЕНИЯ. СООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ.
РАСПЛЫВАНИЕ ПАКЕТОВ
1. Показать, что если два оператора Ли В удовлетворяют
перестановочному соотношению АВ - В А -1C, причем А и В-эрмитовы, то
имеет место следующее соотношение:
V (Д^(ДВ^>М.
2. Найти соотношение неопределенности для операторов q и F(р), если q
