Сборник задач по квантовой механике - Гольдман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
б) осциллятора.
21. Воспользовавшись результатами предыдущей задачи, определить
зависимость от времени дисперсии координаты в случае свободного движения.
18
ЗАДАЧИ
22. Волновая функция частицы в момент t = 0 имеет
г
вид - н , где <?(х) - действительная нормиро-
ванная к единице функция. Определить значение дисперсии (Ajc)2 в любой
момент времени в случае а и б задачи 20 § 3. Показать, что в случае
осциллятора (кх)2 =
[Лео#3
= (4jc)2=0, т. е. расплывания нет, если v(x) - ce п (см. задачу 10 в) §
3).
§ 4. МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ. СПИН
1. Получить выражения для операторов lx, ly, lz в сферических
координатах, исходя из того, что 1Х, 1у, 12 являются операторами
бесконечно малого поворота.
2. Доказать следующие коммутационные соотношения:
а) [/*, хк\ = ieiklxp
б) \h, Рк 1 = ieikiPu
где eiki есть антисимметрический единичный тензор третьего ранга,
компоненты которого меняют знак при перестановке двух любых его индексов,
т. е. eikl= - еик, причем el23 = 1 (1, 2, 3 соответствует х, у, z).
3. Доказать справедливость соотношений:
а) [*'• Й+^ + ^)]=0-
б) [/, (xz + y2+z*)] = 0.
4. Показать, что в состоянии 6 с определенным значением lz (l/j =
nv'j) среднее значение 1Х и 1у равно нулю.
Указание. Найти среднее значение в состоянии 6 левой и правой частей
соотношений коммутаций
lylz lzly = ilx,
LJ-x = Ну
5. Получить выражения для оператора момента относительно некоторой оси
(z') через операторы 1Х, 1у, 12.
6. Показать, что если в некотором состоянии 6 12<Ъ = mb, то среднее
значение момента относительно оси z', составляющей с осью ^ угол 0, равно
т cosQ.
МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ. СПИН
19
Этот результат можно истолковать наглядно следующим образом. Вектор
момента в состоянии <Ьт равномерно "размазан" на конусе, осью которого
является ось z, причем длина образующей равна а высота т.
Среднее значение проекции на плоскость ху равно нулю, а проекция на ось
z' после усреднения оказывается равной mcosO.
7. Найти закон преобразования шаровых функций Кп, К10, ^i,_i при
повороте системы координат, характеризуемом углами Эйлера 0, ty, ср.
Указание. Представить шаровые функции в виде
Y -лх + 1" у ____________1 ^ z V - 1 x - iy
уп-у 7-> -]/ 4^7* 4-1 - V 8^-7--
8. В приборе типа установки Штерна - Герлаха пучок атомов, обладающих
полным моментом J, отклоняется различным образом в зависимости от
значения проекции момента на направление магнитного поля прибора. Если
пучок частиц имеет определенное значение момента относительно оси, не
совпадающей е направлением магнитного поля прибора, то он расщепится на
27-f- 1 пучок.
Определить относительную интенсивность этих пучков, если J = 1, а
проекция момента относительно некоторой оси, составляющей угол Ь с
направлением магнитного поля прибора, имеет определенное значение М(-(-1,
0, -1).
9. Проекция спина электрона на ось z с достоверностью имеет значение -
f- 1/2. Какова вероятность того, что проекция спина на направление z',
составляющее угол 0 с осью z, будет иметь значение -|-1/2 и -х/2?
Определить среднее значение проекции спина на указанное направление.
10. Наиболее общий вид спиновой функции частицы со спином 1 /*> в "^"-
представлении есть
= eiacos 8,
62 = sin 8.
Эта функция описывает такое состояние частицы, в котором вероятность
значения проекции спина -)-1/2 на ось z (или -1/2) равна cos2 8 (или sin2
8).
Каков будет результат измерения проекции спина на совершенно произвольное
направление?
20
ЗАДАЧИ
11. Спиновая функция в "^-представлении имеет вид
АД /Vacos§\
\62/ Ve^sinSy
Существует ли такое направление в пространстве, вдоль которого проекция
спина с достоверностью имеет значение +1/г'> Если существует, то найти
сферические координаты (в, Ф) этого направления.
Указание. Й и Ф найти из условия обращения в нуль второй компоненты
спиновой функции.
12. Имеется совокупность невзаимодействующих частиц одного и того же
сорта. Импульс частиц одинаков; спин равен V2. Если бы эти частицы не
обладали спином, то мы бы имели право такую совокупность называть чистым
ансамблем. Но нам неизвестно, одинаково ли направление спинов у всех
частиц.
Можно ли посредством эксперимента типа опыта Штерна- Герлаха сказать,
является ли этот пучок частиц чистым
ансамблем или смешанным?
13. Показать, что оператор, преобразующий компоненты спиновой функции
при повороте на углы Эйлера О, <р,
имеет вид Т (ф, Ь, ср) = егг"^ег^х .
14. Показать, что при повороте системы координат на угол Ф относительно
оси, направляющие косинусы которой равны а, у, матрица преобразования
компонент спиновой функции может быть представлена следующим образом:
f _ ^Kc+^+^P^cos -|- + 2/ (а^д, -)- yss) sin -5-.
Указание. Углы Эйлера 9, ф, ф связаны с а, [3, у и Ф следующими
соотношениями:
ф 0 1 , I
cos Т = C0S Т ' cos 7 (? + 'т')*
. Ф .0 1 ,
я sin-j- = sin у • cos (<р - '{О,
а ¦ ф • 6 • 1 /
Р sin -g- = sin у • sin j (cp -'}),
. Ф 0.1.,.,
у sin - = cos J ¦ sin-j (cp + Ф).
Отметим, что е{ф ("a>+ Р">т",) не равно • emiy ¦ ei<b^-
