Сборник задач по квантовой механике - Гольдман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ. СПИН
21
15. Найти собственные функции оператора asa;-|-?s0~t_Ts2>
где а2 -(- -(- Т2= 1. и показать, что коэффициенты разло-
жения какой-либо спиновой функции по этим функциям
определяют вероятность того, что значение проекции спина на направление,
характеризуемое направляющими косинусами а, ,3, у, равно -\-х12 или -7г-
16. Найти матрицу преобразования компонент спиновой функции частицы со
спином 1 при произвольном повороте системы координат.
17. Момент частицы равен /, проекция момента на ось z имеет
максимальное значение.
Определить вероятности различных значений проекции момента на
направление, составляющее угол 9 с осью г.
18. Система, обладающая полным моментом J, находится в состоянии Jz =
М. Определить вероятность того, что при измерении (например, в опыте
Штерна - Герлаха) проекции момента на направление z', составляющее с осью
z угол О, получится значение М'.
19. Показать, что если ^ есть собственная функция
оператора Jz, соответствующая собственному значению т, то функция 6т =
e~x'r^e~xjvb^ является собственной функцией оператора = Jx sin & cos ср -
\~Jy sin ft sin cp -|~yzcos ft, принадлежащей тому же собственному
значению, т. е.
J&m = т^т-
Указание. Использовать соотношения (см. задачу 11 § 3) е~1^уьj^y & = Jz
соs ft -|- Jx sin ft,
-iJ о r iJ (r) _ t /
е z Jxe г = /сcos sin ср.
20. Частица со спином */2 движется в поле центральных сил. Найти
волновые функции этой частицы, являющиеся одновременно собственными
функциями трех коммутирующих операторов
jz = 4 + ^ i2' J2-
21. Состояние электрона характеризуется квантовыми числами I, j, т.
Воспользовавшись волновыми функциями,
22
ЗАДАЧИ
полученными в предыдущей задаче, определить возможные значения проекций
орбитального и спинового моментов и соответствующие этим значениям
вероятности. Найти также средние значения проекций.
22. Условимся под направлением спина понимать то
направление, вдоль которого проекция спина с достоверностью имеет
значение -(-1/2. Будем это направление характеризовать полярными углами
0, Ф. Пусть состояние частицы описывается волновой функцией j т)
(см. задачу 20 § 4). Очевидно, что направление спина такой частицы в
различных точках пространства будет, вообще говоря, неодинаково.
Установить зависимость между углами 0, Ф и пространственными координатами
частицы.
23. Найти волновые функции системы из двух частиц со спином V2, которые
являются собственными функциями коммутирующих операторов квадрата и
проекции на ось z суммарного спина.
24. Система состоит из двух частиц, причем момент первой частицы 1г- 1,
а второй 12 = 1- Полный момент J в этом случае может принимать значения
/-(-1, I и I-1. Выразить собственные функции операторов У2 и Jz через
собственные функции квадратов момента и проекций момента на ось z
отдельных частиц.
25. Обозначим через av а2 спиновые операторы двух частиц, а через г-
радиус-вектор, соединяющий эти частицы. Показать, что любая целая
положительная степень каждого из операторов
iL 2 \ .. С __ 3 (31^) (32^) т \
и *^12 -
также как и произведения этих степеней, могут быть представлены в виде
линейной комбинации этих же операторов и единичной матрицы.
26. Показать, что оператор 512 (см. предыдущую задачу)
выражается через оператор суммарного спина S = *г)
следующим образом:
§ 4]
МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ. СПИН
23
и что в случае, когда суммарный спин двух частиц равен единице, S12 можно
представить в виде трехрядной матрицы
^20 V"3 У 2, -1 V 6 К2, _2
V3 К21 У"6 к22
20
/3 К".!
/зг.
21
27. Показать, что нормированная часть волновой функции состояния SDj,
содержащая спиновые и угловые переменные, может быть записана следующим
образом:
(7=1, Ж = 1,
(7=1, Ж = О,
2, S = 1),
S= 1),
г- 512\
и
М :
1, L-
1).
Указание. См. задачу 24 § 4.
28. Доказать справедливость следующих равенств:
а) {Д А} =/([ЛУ] - [JA]),
б) {Л {У2, А}} = 2(У\4 + А/2) -
(JA'tn/, Г.Ж'
в) №
{J)
JnjM
Здесь А есть некоторая векторная физическая величина, удовлетворяющая
правилу коммутации
Оь Ak) - 1ешАг.
29. Най ги среднее значение оператора yi = gtJx -f- g2J2 в состоянии,
характеризуемом квантовыми числами 7, Mj, Jv У2, если полный момент У
равен У = У1-|-У2.
Указание. Воспользоваться формулой, приведенной в предыдущей задаче.
24
ЗАДАЧИ
30. Найти магнитный момент (в ядерных магнетонах) ядра N15, в котором
до заполненной оболочки не хватает одного протона в состоянии pt/.
Магнитный момент свободного протона равен ^=2,79.
31. Вычислить магнитный момент ядра О17, содержащего сверх заполненной
оболочки один нейтрон в состоянии d5/ . Магнитный момент свободного
нейтрона равен (х" = -1,91.
32. Каково было бы численное значение магнитного момента дейтрона, если
бы дейтрон находился в состоянии:
а) 851; б) Фр в) "PV г) Wv
33. Предполагая, что основное состояние дейтрона есть суперпозиция 35х
и SD1 состояний определить вес D волны, если [ip = 2,78, (хи =-1,91, ^ =
0,85.
34. Выразить квадрупольный момент дейтрона через среднее квадратичное
