Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гольдман И.И. -> "Сборник задач по квантовой механике" -> 3

Сборник задач по квантовой механике - Гольдман И.И.

Гольдман И.И., Кривченков В.Д. Сборник задач по квантовой механике — М.: ГИТТЛ, 1957. — 273 c.
Скачать (прямая ссылка): sbornikzadachpokvantovoymehaniki1957.pdf
Предыдущая << 1 .. 2 < 3 > 4 5 6 7 8 9 .. 56 >> Следующая

и р удовлетворяют перестановочному соотношению qp-pq = ili.
Указание. Считать функцию F (р) заданной в виде ряда Тейлора.
3. Оценить энергию основного состояния осциллятора, используя
соотношение неопределенности.
4. Оценить энергию электрона на К оболочке атома с порядковым номером
Z в нерелятивистском и релятивистском случае.
5. Оценить энергию основного состояния двухэлектронного атома, заряд
ядра которого равен Z, с помощью соотношения неопределенностей.
6. Магнитное поле, создаваемое свободным электроном, обусловлено как
его движением, так и наличием у него собственного магнитного момента.
Как известно из электродинамики, напряженность магнитного поля
движущегося заряда по порядку величины равна
а напряженность поля магнитного диполя с моментом {i
Для того чтобы можно было определить магнитный момент [i свободного
электрона на основании измерения напряженности создаваемого им поля,
необходимо выполнение следующих двух условий:
(1)
и
Дг <-С' г. (2)
ПЕРЕСТАНОВОЧНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
15
Последнее условие означает, что область локализации электрона Дг должна
быть много меньше расстояния от этой области до точки наблюдения
магнитного поля.
Могут ли быть одновременно выполнены эти два условия? Указание. Принять
во внимание соотношение неопреде-
" еП
ленностей и значение магнитного момента электрона [х
7. Какой физический смысл имеет величина р0 в выражении волновой
функции
ipji'
6 (х) = ср (х) е п ,
если функция о(х) действительна.
8. Показать, что среднее значение импульса в стационарном состоянии
дискретного спектра р - 0.
9. Волновая функция свободной частицы в момент вре-
мени f = 0 задана следующим образом $(х, 0) = (r)(х)е п . Функция <о(х, 0)
действительна и заметно отличается от нуля лишь для значений х, лежащих в
области -8<д:<-(-8. Определить, в какой области значений х будет отлична
от нуля волновая функция в момент времени t.
10. Найти изменение волновой функции, заданной в момент времени t - 0
(расплывание волнового пакета):
а) свободное движение
6 (г, 0) --;-ехр | ----Ч- j;
(х52) '* \ h 2Ъ* |
б) движение в однородном поле
<Ь (,-, 0) = -Цт- ехр | ----- \;
(710'!) '* F \ /, 2Ь2 /
в) движение частицы в потенциальном поле V -¦
И*. 0) = " **Р {, а _ .
11. Доказать справедливость соотношения
е^ае-1 = а + {U] +1 [L [La]} +1 [L [L [La] ] ] + ...
12. Осциллятор при t - - со находился в основном состоянии. Определить
вероятность того, что при f='-|-oo
p.(02JC2
16
ЗАДАЧИ
осциллятор будет находиться в п-м возбужденном состоянии, если на него
действовала сила f(t), где f(t) - произвольная функция времени (/=0 при t
-> zt оо).
Провести расчет до конца для
JiL
а) /(0 = /ое
б) f(t)=f0TJ±- .
(т) +1
13. Показать, что задача определения движения осциллятора под действием
вынуждающей силы f(t) может быть сведена к более простой задаче
определения движения свободного осциллятора, если ввести новую переменную
х1 = х - ?(0> где %{t) удовлетворяет классическому уравнению 1л?=/(0-
<а<о2?.
14. Найти функцию Грина для осциллятора, собственная частота которого
меняется во времени, выразив ее через решение классического уравнения для
осциллятора с переменной частотой.
15. Использовав функцию Грина, полученную в предыдущей задаче,
определить изменение во времени плотности вероятности для частицы,
движущейся в потенциальном поле
l/(x) = J-^- (ш - const). Волновая функция частицы в момент времени t ==
0 равна аЧт--.^) iP.x ^ (х, 0) = се 2 я .
16. Найти функцию Грина для осциллятора, собственная частота которого
меняется во времени и подверженного действию возмущающей силы f{t).
Указание. Использовать результаты задач 13 и 14 § 3.
17. При t = 0 осциллятор находился в п-м энергетическом состоянии.
Определить вероятность перехода осциллятора в т-е состояние под действием
возмущающей силы f(t). Найти среднее значение и дисперсию энергии в
момент времени t.
18. Поскольку уравнение Шредингера является уравнением первэго порядка
по времени, й(0 однозначно определяется заданием ^(0). Запишем эту связь
в виде
4 (0 = 5(0-НО).
где 5(0 - некоторый оператор.
§ 3] ПЕРЕСТАНОВОЧНЫЕ СООТНОШЕНИЯ 17
а) Показать, что оператор 5(0 удовлетворяет уравнению
lbS(f) = HS(t)
и является унитарным оператором, т. е. S+ = 5-1.
б) Показать, что в случае, когда Н не зависит от времени, 5(0 имеет
вид
iHt
5 (0 = е * .
19. Среднее значение некоторого оператора L в момент времени t
определяется следующим выражением:
L(0 = ff (t)b'j(t)di.
а) Показать, что зависящий от времени оператор J2? = 5-1 (О LS (0> где
5(0 определяется соотношением 5 (0 ф (0) = 6 (0, удовлетворяет условию J
<Ь* (0) (0) X
Xdt=L(f).
б) Проверить справедливость операторного уравнения
1К& = - s&j?,
где
<Ш = HS.
в) Показать, что если операторы L и М удовлетворяют правилу коммутации
LM - ML = iN, то для зависящих от времени операторов
- Mj' = iJf ¦
20. Определить зависящий от времени оператор координаты л; (в
координатном представлении) для:
а) свободного движения частицы,
Предыдущая << 1 .. 2 < 3 > 4 5 6 7 8 9 .. 56 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed