Квантовая физика. Водный курс - Гольдин Л.Л.
Скачать (прямая ссылка):
модам. Энергия, приходящаяся на каждую такую моду, квантуется так же, как
энергия осциллятора.
Рассмотрим теперь полость не с зеркальными, а с черными стенками,
находящимися при некоторой температуре Т. Поместим в нее атом (или
множество таких атомов). Через некоторое время в полости установится
тепловое равновесие между стенками и излучением, причем в состав
излучения будут входить кванты самых разных энергий, в том числе и такие
кванты, которые могут испускаться и поглощаться рассматриваемыми атомами.
Соотношение между вероятностями спонтанного и вынужденного излучения
атомов, как и всегда, характеризуется формулой (10.6). Однако при
установившемся тепловом равновесии можно продвинуться дальше, связав
число квантов п с температурой стенок (и излучения). Подставляя в (10.6)
значение п из (8.16), найдем
(10.12)
WBbm _____________1________
Wcn ехр(Нои/кТ) - 1
В полученную формулу не входят размеры полости. Поэтому она справедлива
для полости любых - в том числе и сколь угодно больших (бесконечных) -
размеров. Эта формула определяет соотношение между вероятностями
вынужденных и спонтанных переходов при тепловом равновесии.
Анализ состояния теплового равновесия между атомами и излучением
позволяет сделать еще один важный шаг - установить соотношение между
вероятностями поглощения и испускания электромагнитного излучения.
Обозначим числа атомов в первом и во втором состояниях Ni и N2. В
квантовой электронике Ni и N2 принято называть н а -селенностями
соответствующих уровней1. Число переходов N1^2 из первого состояния во
второе равно
N^2 = W^2nNit, (10.13)
1 Более строго населенностью уровня называется число атомов в единице
объема, занимающих данный уровень, т. е. не Ni и N2, a N\/V и N2/V.
§46. Спонтанное и индуцированное излучение
241
где п - число резонансных квантов, a t - время наблюдения. Индекс "(1)",
как и прежде, напоминает, что вероятность перехода рассчитана не только
на один атом, но и на один квант.
Переходы из второго состояния в первое делятся на спонтанные и
вынужденные. Их числа равны
При тепловом равновесии число переходов из первого состояния во второе и
из второго в первое равны друг другу:
Населенности уровней Ni и N2 зависят от температуры, а величи-
висят только от свойств рассматриваемых атомов и с температурой не
связаны.
Рассмотрим полученное соотношение при высоких температурах. При повышении
температуры различие в населенностях уровней Ni и N2 уменьшается и при
больших Т исчезает; число квантов п при этом неограниченно возрастает.
Соответственно возрастает величина левой части (10.16) и первого члена
правой его части. Поэтому при высоких температурах вторым членом в правой
части (10.16) можно пренебречь. Отбрасывая этот член и приравнивая Ni и
N2, получим
Поскольку вероятности W от температуры не зависят, это равенство
справедливо всегда. Оно было впервые установлено Эйнштейном1. За-
Полученное равенство позволяет получить соотношение между вероятностями
поглощения и вынужденного излучения. Разделив (10.15)
Сказанное соотношение является частным случаем очень общего утверждения
квантовой механики о том, что приведенные (рассчитанные на единицу
статистического веса) вероятности прямого и обратного процессов равны
друг другу. Это утверждение называется принципом детального равновесия.
W^iN2t,
W^2lbmnN2t
(10.14)
(10.15)
W^nNrf = w?l(tm)HnN2t + W^N2t. (10.16)
ны характеризующие взаимодействие атомов с излучением, за-
мечая, кроме того, что = wiHi" (см- п- 3 результатов, сформу-
лированных после формулы (10.11)), найдем окончательно
(10.17)
242
Глава 10
на (10.13) и заметив, что соотношение N^1/N\^2 равно искомому отношению
вероятностей, получим
В обычных условиях населенность уровней падает с ростом их энергии, так
что N2 < iVi. Поэтому вынужденное излучение света оказывается слабее, чем
поглощение. Более того, по сравнению с последним оно исчезающе мало. В
самом деле, в оптическом диапазоне Е = fauo по порядку величины равно 2
эВ, в то время как кТ при нормальных температурах составляет 0,025 эВ и
даже при 1000 К оказывается менее 0,1 эВ. Определяющий соотношение между
N2 и N\ больцмановский множитель ехр(-hco/кТ) равен е-80 при нормальных
температурах и е~20 при 1000 К. Вынужденное излучение света при этом во
много раз меньше поглощения и на опыте не обнаруживается. Если, однако,
создать условия, при которых N2 окажется больше TVi, то вынужденное
излучение будет преобладать над поглощением, и среда начнет усиливать
свет, вместо того чтобы его поглощать. Мы вернемся к этому вопросу в
следующем параграфе.
Для полноты изложения выразим наши результаты в обозначениях Эйнштейна,
которые часто используются в литературе. В этих обозначениях число
переходов из первого состояния во второе Ni^2 записывается не через число
квантов, как мы это делали в формуле (10.13), а через спектральную
плотность uv\
Число переходов из второго состояния в первое записывается аналогичным
