Квантовая физика. Водный курс - Гольдин Л.Л.
Скачать (прямая ссылка):
излучаемую в единицу времени единицей площади по направлению нормали к
поверхности. Выделим в центре полости небольшой шаровой объем радиуса г.
Телесный угол, под которым виден этот объем из каждой точки поверхности
шаровой полости, равен
Q = 7Г г2/R2.
С единицы площади полости в единицу времени на рассматриваемый объем
падает излучение, переносящее энергию I±_Q. Это излучение проходит через
сечение тг г2 и движется со скоростью с. Плотность его энергии равна
поэтому
1±П _ h_ тгт2с cR2 '
§43. Классические формулы для равновесного излучения
227
а полная плотность энергии в AttR2 больше указанной, так что
->2 1±. _ 47Г -
и = 47Г R -гг = -рг1±. cR с
(9.16)
Найдем теперь, как энергия, излучаемая поверхностью абсолютно черного
тела, зависит от угла излучения. На рис. 88 изображены два нагретых до
одной и той же температуры равных участка поверхности (площадь каждого
участка равна S); один из них повернут к другому под углом $. Из
термодинамических соображений следует, что потоки энергии, которыми они
обмениваются, должны быть равны друг другу. Первый участок виден из
второго под углом (S/R2), а второй из первого - под уголом (S/R2) cos$.
Приравнивая потоки, найдем
Индекс $ при I указывает } Сокращая равенство на S/R2
гол, под которым испускается излучение. , найдем
I& = I± cos'd.
(9.17)
Формула (9.17) носит название закона Ламберта. Для абсолютно черных тел
она, как мы видели, является точной, а для большинства других тел -
приближенной.
Найдем теперь Д* - энергетическую светимость абсолютно черного тела. Она
равна
= J I# dQ, = J ij_ cos i92tt sin di9 = 2ttI±_ J sinfi d(sini9).
Интегрирование следует распространить на всю переднюю полусферу, т. е. от
$ = 0 до $ = 7г/2. Произведя интегрирование, получим
Д* = 7r_Zj_.
(9.18)
Подставляя в это выражение значение 1±_ из (9.16) и значение и из (9.15),
найдем ________________________
2 7 4
7Г К rj-14 _____ Q.rj-)4
Ri _
э ~ 60 n3c2
(9.19)
.R* определяет полную мощность излучения, испускаемого с единицы
поверхности абсолютно черного тела. Соотношение (9.19) так же, как
228
Глава 9
и (9.15), носит название закона Стефана - Больцмана, а входящая в него
константа а называется постоянной Стефана-Больцмана: 2 7,4
а=оо?^' (9'20)
Числовое значение а в системе СГС равно 5,67 • 10-5 эрг/(с-см2-К4).
Сравним формулы (9.15) и (9.19). Они имеют один и тот же вид
и различаются только величиной входящих в них констант сг
и <j'. Как
нетрудно найти, "
(7=|(7'. (9.21)
Формула (9.21) очень напоминает формулу для числа ударов молекул о
стенку, которая выводится в кинетической теории газов и имеет вид
где п - плотность молекул, v - их скорость, а N - число ударов в единицу
времени, приходящихся на единицу площади стенки.
Умножая эту формулу на среднюю энергию молекул (Е), получим
N(E> = ^-v. (9.22)
Сравним эту формулу с (9.21). Для этого умножим (9.21) на Т4:
аТ = (9.23)
Числители дробей, стоящих в правых частях формул (9.22) и (9.23),
определяют энергию молекул и соответственно энергию электромагнитного
излучения в единице объема. Скорость молекул v заменяется на скорость
фотонов с. В левой части формул стоят соответственно полная энергия
молекул, ударяющихся о единицу площади стенки в единицу времени, и полная
энергия фотонов, испускаемых в единицу времени с каждой единицы площади
стенки. Эта энергия,
как мы уже знаем, равна энергии падающих на стенку
фотонов, так что ле-
вые части сравниваемых формул имеют один и тот же смысл. Формулы (9.22) и
(9.23), таким образом, по сути дела идентичны.
Вернемся к формуле (9.18). Если бы излучение испускалось во все стороны
равномерно, то полная мощность излучения оказалась бы в 2тг раз больше,
чем мощность ij_, испускаемая в единицу телесного угла в перпендикулярном
направлении. На самом деле она оказывается всего в 7г раз больше. Это
показывает, что мощность, излучаемая в единицу телесного угла
перпендикулярно к стенке, в два раза больше,
§43. Классические формулы для равновесного излучения
229
чем средняя мощность, излучаемая в единицу телесного угла. Этот результат
тоже полезно запомнить.
Формула (9.21) связывает плотность энергии равновесного излучения
(которая характеризуется константой сг') с энергетической светимостью
абсолютно черного тела (константа а). Возвращаясь к рис. 87 и к
рассуждениям, которые привели нас к (9.21), нетрудно установить, что
плотность энергии излучения и излучательная способность абсолютно черного
тела связаны между собой множителем с/4 в каждом спектральном интервале.
Это замечание позволяет использовать формулы (9.13) и (9.14) для расчета
спектральных излучательных способностей Е* и Е^:
К = L . (9-24 а)
47г2 с2 exjp(huj/kT) - l'
J___________d\
4 A exp(27r/ic/A?;T) - 1 A5
El = -Лих = 4тг2he2 /n ,Л| ГГ1Ч-7 (9.24 6)
Обратимся снова к формуле (9.19). Мы видим, что энергетическая светимость
пропорциональна очень высокой (четвертой) степени температуры. При
обычных (комнатных) условиях и температурах основные тепловые потери
