Квантовая физика. Водный курс - Гольдин Л.Л.
Скачать (прямая ссылка):
исходящим от стенок и от всех тел, находящихся в ящике, то все они будут
светиться с одинаковой яркостью и будут одного цвета, из каких бы
материалов они ни были изготовлены!
§42. Формула Планка
223
§ 42. Формула Планка
В предыдущем параграфе ряд важных свойств равновесного излучения был
установлен с помощью термодинамических методов. Мы перейдем теперь к
статистическому рассмотрению, которое позволяет вывести основную формулу
равновесного излучения - формулу Планка. Из этой формулы будет затем
получен ряд других важных соотношений. Воспользуемся для расчетов
формулами, полученными в предыдущей главе.
Рассчитаем энергию излучения, заполняющего полость тела, нагретого до
некоторой температуры Т. Эта энергия складывается из энергий отдельных
фотонов. Рассмотрим фотоны, энергия которых лежит в интервале от Е до Е +
dE. Из этих фотонов состоит излучение, заполняющее спектральный интервал
между частотами си = E/h и си + duo = = (Е + dE)/h. Их число равно
ng(E)dE, где g(E)dE - число разрешенных фотонных состояний в
рассматриваемой полости, ап - число фотонов в каждом таком состоянии.
Поскольку энергия каждого фотона равна Е, их суммарная энергия равна
пд(Е)Е dE.
Выразим теперь эту энергию через объемную спектральную плотность
излучения иш, т. е. через энергию излучения, отнесенную к единице объема
и к единичному интервалу изменения частоты. Эта энергия равна u^V duo,
где V - объем полости. Имеем, следовательно, ишУ du = ng(E)EdE.
(9.12)
Подставляя в это выражение значение д(Е) из (8.10) и значение п из
(8.16), найдем
VE2 Е dE
иыУ dco =
тг2с3П3 exp(Е/кТ)-1
Сокращая обе части равенства на V, заменяя Е на hco и dE на hduo, найдем
окончательно
и du=^~__________^_____.
Ш 7г2с3 exp(Jko/кТ) - 1
(9.13)
Полученное соотношение называется формулой Планка.
Формулу Планка часто записывают через спектральную плотность излучения,
отнесенную не к единичному изменению частоты, а к единичному интервалу
длин волн. Подставляя (9.9) в (9.13), и опуская знак минус, найдем
и\ d\ = 167Г2 ------------------------ Щ-.
[ехр(27гhe/ХкТ) - 1] А
(9.13)
Эта формула также носит название формулы Планка.
224
Глава 9
А, нм 500015001000 500 400 300 200
Рис. 86. Зависимость спектральной плотности излучения от частоты (а)
и длины волны (б).
§43. Классические формулы для равновесного излучения
225
Функции иш для разных температур изображены на рис. 86 а. Они
представляют собой кривые с максимумами. Спад кривых в сторону малых ио
(больших длин волн) объясняется уменьшением статистического веса д(Е), а
спад в сторону больших со (малых длин волн) - увеличением
экспоненциального члена в знаменателе (9.13). При увеличении Т плотность
излучения возрастает на всех частотах, а максимум иш смещается в сторону
больших частот (коротких длин волн).
На рис. 86 б для тех же температур изображены функции и\. Спектральные
плотности и\ возрастают с температурой так же, как и иш. Однако их и иш -
разные функции. Они имеют разную размерность и различаются по форме.
Максимумы этих функций - при одной и той же температуре - сдвинуты друг
относительно друга (мы вернемся к этому вопросу в следующем параграфе),
§ 43. Классические формулы для равновесного излучения
Из формулы Планка (9.13) легко может быть получено несколько важных
формул. Найдем прежде всего полную (проинтегрированную по со) плотность
энергии равновесного излучения при температуре Т
оо оо
t(T) = J иш(ко = J
со3 duo
exp (hco/kT) - 1
Преобразуя интеграл к переменной х = hw/kT, найдем
оо
и(Т) = к^ТА f х3 dx
тг2с3Й3 J ех - 1'
О
Входящий в это выражение интеграл равен тг4/15. Поэтому
и(Т) = ^-^гТ4 = ст'Т4. 15с ft
(9.15)
К тому же результату, конечно, приводит вычисление и(Т) путем
интегрирования (9.14). В формуле (9.15) комбинация констант, стоящая
перед Т4, заменена одной константой <j'. Утверждение о том, что полная
энергия равновесного излучения пропорциональна четвертой степени
температуры, может быть получено без статистического рассмотрения задачи
на основе термодинамических соображений. Эта формула
226
Глава 9
была получена Стефаном и Больцманом задолго до формулы Планка и носит их
имя. Формула Планка позволяет, однако, вычислить постоянную а', которая
до этого бралась из опыта.
1
2
Рис. 87. К выводу формулы Стефа- Рис. 88. К выводу закона
на - Больцмана. Ламберта.
Обратимся к структуре формулы (9.15). Вывод о том, что плотность энергии
излучения пропорциональна четвертой степени температуры, является
физическим утверждением, которое следует запомнить. Постоянная сг' с
точностью до малосущественного коэффициента тг2/15 легко может быть
получена из соображений размерности. Эту задачу в качестве полезного
упражнения мы предоставляем читателям.
С помощью (9.15) нетрудно вычислить энергию, излучаемую поверхностью
абсолютно черного тела. Рассмотрим для этого сферическую полость большого
радиуса R с абсолютно черными стенками (рис. 87).
Найдем прежде всего 1±_ - отнесенную к единице телесного угла энергию,
