Квантовая физика. Водный курс - Гольдин Л.Л.
Скачать (прямая ссылка):
спонтанных переходов из второго в первое состояние равно, конечно,
отношению вероятностей этих переходов. Обозначая эти вероятности через
и ^2^1 найдем
1 = п-
(10.6)
238
Глава 10
Полученная формула связывает вероятности вынужденного и спонтанного
излучения при реально имеющемся числе квантов п.
Отношение вероятностей вынужденных и спонтанных переходов можно выразить
не только через число квантов п, но и через спектральную плотность
энергии электромагнитного излучения. При этом, конечно, предполагается,
что в зеркальном ящике представлены кванты не одной, как мы до сих пор
предполагали, а самых разных частот, в том числе и той резонансной
частоты со = E/h, которая стимулирует рассматриваемый переход.
Согласно (9.12),
ишУ duo = пд(Е)Е dE, (Ю-7)
где иш - спектральная плотность энергии излучения, отнесенная к единице
изменения со, V - объем ящика, Е - энергия квантов, а д(Е) -
статистический вес. Подставляя в эту формулу д(Е) из (8.10) и заменяя dE
на hduo, найдем
9 Я
(10.8)
Подставляя это значение в (10.6), можно выразить искомое отношение
вероятностей через иш. Следуя Эйнштейну, введем в (10.8) вместо иш
спектральную плотность энергии излучения uv, отнесенную к единице
изменения v. Количество энергии, заключенной в некотором интервале, не
зависит от того, как его выражать, через dv или duo: u^duo = uvdv.
Поэтому
Пш = Uv% = hUv' (10-9)
так что
7ГС3
n=^-uv. (10.10)
2 Нсо3
Из (10.6) при этом найдем
тс3г^.
(10.11)
Полученное выражение применимо во всех случаях, когда взаимодействующие с
электромагнитным излучением атомы находятся в поле излучения. Присутствие
или отсутствие зеркального ящика в этом случае не играет никакой роли.
Формула (10.11) очень удобна для применений, но имеет существенно более
сложный вид, чем (10.6), и ее физический смысл менее ясен.
§46. Спонтанное и индуцированное излучение
239
Сформулируем полученные результаты.
1. При возвращения атомов из более высоких в более низкие состояния
происходят не только спонтанные (самопроизвольные), но и вынужденные
переходы.
2. Вероятность вынужденных переходов в зеркальном ящике
пропорциональна числу имеющихся в нем резонансных квантов, которое может
быть выражено через спектральную плотность энергии излучения.
3. Рассчитанная на один квант вероятность вынужденного излучения равна
вероятности спонтанного излучения.
В заключение отметим, что при вынужденном излучении испускаются кванты,
имеющие не только ту же энергию, но и ту же поляризацию, что и кванты,
стимулирующие вынужденное излучение (этот вывод следует из более
подробного рассмотрения). Можно показать, что справедливо и более сильное
утверждение: вынужденное излучение когерентно с излучением, его
вызвавшим: оно имеет ту же частоту, то же направление распространения, ту
же поляризацию и ту же фазу.
Из вывода соотношения (10.6) ясно, что оно справедливо для любых
электромагнитных переходов в любых атомах. Его справедливость связана,
следовательно, со свойствами не атомов, а электромагнитного поля. Наличие
жестких соотношений между вероятностями вынужденных и спонтанных
переходов заставляет думать, что эти переходы имеют одну и ту же природу.
Исследование вопроса показывает, что это действительно так. Чтобы уяснить
суть дела, рассмотрим излучение, "запертое" в зеркальный ящик
прямоугольной формы. Рассмотрим колебания, распространяющиеся вдоль
ящика. Мы уже показали (см. рис. 81 и следующий за ним текст), что в
таком ящике могут возбуждаться не любые электромагнитные колебания, а
только колебания, удовлетворяющие соотношению L =
где L - длина ящика, Ат - длина волны излучения, т - произвольное целое
число. Каждое из таких колебаний называется продольной модой
электромагнитных колебаний1. Моды, соответствующие разным Ат независимы.
Они могут иметь разную интенсивность. Теория показывает, что энергия
колебаний, соответствующих каждой моде, описывается формулой для энергия
квантового осциллятора: Ет = Гш,т(п+1/2),
где Ет - энергия, приходящаяся на моду т, сот - соответствующая частота,
п - любое целое число. Мы знаем, что излучение состоит из фотонов, каждый
из которых имеет энергию Е = Ни. Ясно, что появление в нашей формуле
слагаемого НитП эквивалентно утверждению, что в ящике находится п
фотонов.
]На самом деле указанное соотношение определяет две моды электромагнитных
колебаний в соответствии с двумя возможными значениями поляризации.
240
Глава 10
Член (1/2)hiOm, соответствующий нулевому их числу, определяет энергию н у
-левых колебаний электромагнитного поля. Спонтанные переходы можно
рассматривать как взаимодействие возбужденных атомов с этими нулевыми
колебаниями, в то время как вынужденное излучение происходит из-за их
взаимодействия с реальными фотонами.
Приведенные рассуждения легко обобщаются на ящики любых размеров и форм.
В таком ящике - в резонаторе электромагнитных колебаний - могут
возбуждаться не любые колебания, а колебания, принадлежащие разрешенным
