Квантовая физика. Водный курс - Гольдин Л.Л.
Скачать (прямая ссылка):
было сразу прийти из соображений, развиваемых в кинетической теории. В
самом деле, в классической физике доказывается, что кинетическая энергия,
приходящаяся на каждую степень свободы частицы, равна (1/2)кТ. Полная
энергия, приходящаяся на каждую степень свободы, зависит от соотношения
между кинетической и потенциальной энергиями. Можно показать, что для
квантов электромагнитного излучения эти энергии следует считать равными
(роль кинетической и потенциальной энергии играют в этом случае энергии
электрического и магнитного полей электромагнитной волны), так что на
каждую степень свободы должна приходиться энергия, равная кТ. Формула
(9.27) после этого становится очевидной.
Формула (9.27) была получена задолго до появления квантовых
представлений. Она записывалась, однако, не через энергию, а через
частоту. Используя для g(E)dE формулу (8.10) и возвращаясь от энергии к
частоте, получим
Uojckv = 4^kT. (9.28)
7Г С
Это выражение носит название формулы Рэлея-Джинса и, как мы теперь
понимаем, неизбежно возникает при распространении закона
равнораспределения энергии по степеням свободы на электромагнитные
колебания. Если бы формула (9.28) была применима не только к малым, но и
ко всем частотам, то полная энергия электромагнитного излучения оказалась
бы бесконечной, так как интеграл f со2 duo при больших частотах
расходится. Но бесконечной энергии быть не может. Полученный результат,
таким образом, означает, что тепловое излучение не может находиться в
тепловом равновесии со стенками. Этот парадокс, конечно, сразу был
отмечен, но в рамках классической физики не мог быть объяснен. Он получил
название "ультрафиолетовой катастрофы" ("катастрофы" при больших
частотах). В квантовой физике никаких "катастроф" не возникает. Формула
(9.28) получается из формулы Планка лишь при huo <С кТ. При больших
частотах формула (9.28), так же как и закон равнораспределения энергии,
оказывается несправедливой.
§45. Давление излучения
233
Сделаем одно замечание терминологического характера. В оптике число
уровней принято называть числом осцилляторов, а вместо того, чтобы
говорить о том, что количества энергии, приходящиеся на разные уровни, не
равны друг другу, говорят о том, что осцилляторы имеют разную силу.
Указанные названия не соответствуют терминологии, принятой в квантовой
механике, и с современных позиций крайне неудачны, но до сих пор
встречаются в научной литературе.
§ 45. Давление излучения
Вычислим давление, которое оказывает на тела электромагнитное излучение1.
Рассмотрим сначала тепловое излучение, заключенное в полости, стенки
которой абсолютно черные. Давление этого излучения на стенки складывается
из двух составляющих - из давления фотонов, поглощаемых стенками, и из
отдачи, которую испытывают стенки при испускании фотонов. При тепловом
равновесии эти группы вносят в давление одинаковый вклад.
Рассчитаем давление, которое испытывает стенка от испускаемых ею фотонов.
Обозначим это давление через Р\. Давление равно импульсу, передаваемому
излучением в секунду каждому квадратному сантиметру стенки. Импульс
фотонов связан с их энергией соотношением
|р| = Е/с.
Для давления существенна только нормальная составляющая импульса, т. е.
не |р|, a |p|cos$. Мощность, которая уносится с единицы поверхности
излучением, испускаемым под углом $, равна dQ, где dQ - элемент телесного
угла. Имеем поэтому
dPl = ^§^1# dQ. = dtt = Щ-1х_ cos2 sin $ M.
При написании этого равенства мы воспользовались законом Ламберта и
формулой dQ - 2ттsind dd. Обозначение Pi напоминает, что мы рассматривали
только ту часть давления, которая связана с испусканием фотонов. После
интегрирования получим
7г/2
Pi = Щ-1_l j cos2t9sin= ^ZE О
существование такого давления обратил внимание еще Максвелл. В знаменитых
опытах П. Н. Лебедева (1889 г.) это давление было впервые обнаружено и
измерено.
234
Глава 9
Полное давление излучения на стенку в два раза больше. Подставляя в
полученную формулу значение 1±_ из (9.16), найдем
Таким образом, плотность энергии излучения и его давление на стенку равны
друг другу с точностью до постоянного коэффициента 1/3.
Изменится ли выражение для давления света, если заменить абсолютно черные
стенки какими-нибудь другими? Чтобы ответить на этот вопрос, изменим
материал, из которого изготовлены стенки полости, не на всей ее
поверхности, а только на какой-нибудь части, например на правой. Если бы
давление на "новые" стенки оказалось меньше, чем на абсолютно черные, то
сила, действующая на правую часть полости, оказалась бы меньше, чем сила,
действующая на левую часть. Под действием внутренних сил - давления
излучения - полость начала бы в этом случае перемещаться влево, что
невозможно. Мы видим, таким образом, что выражение (9.29) имеет всеобщую
применимость.
Сопоставим формулу (9.29) для давления фотонного газа с давлением,
которое оказывает на стенку обычный газ. Для обычного газа справедливо
уравнение Клапейрона
