Прикладная теория катастроф Том 2 - Гилмор Р.
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
о о
Рис. 15.7. Траектории нестационарных орбит Хартри — Фока (в пространстве параметров порядка) с энергией возбуждения, превышающей на величину б энергию основного состояния.
Траектории проходят стадию критического удлинения, за которой при определенном увеличении силы взаимодействия следует деление, т. е. имгет место фатовый переход второго рода.
Квантовая механика
51
признак катастрофы в диссипативных градиентных динамических системах.
В заключение отметим, что консервативные и диссипативные динамические системы различаются «поворотом на 90°». Если 3? — (i(d/dt) — Ж} — лагранжиан консервативной системы, то можно ожидать, что Ly = <± (d/dt) — Ж} будет функцией Ляпунова для соответствующей диссипативной системы. Выбирая отрицательный знак {i(d/dt)-* ein/2i(d/dt)), получаем динамическую систему уравнений движения
dhr dh„
Pi~~~dpJ' 4l= dqj' (15.136)
Интегрируя градиентную систему уравнений, выведенную из функции Ляпунова, можно построить классическую функцию hQ((Ei//N>) для сложных гамильтонианов ho(Eij/N) и найти ее локальные минимумы. После определения точек локального минимума можно установить форму траекторий в окрестности этих минимумов, проинтегрировав гамильтоновы уравнения движения. Для диссипативных траекторий, определяемых из функции Ляпунова, остаются в силе все обычные признаки катастрофы. Кроме того, эти траектории ортогональны траекториям движения диссипативных систем, получаемым из функции Лагранжа. Из ортогональности следует пошаговый спуск, а также тот факт, что для каждого признака катастрофы, появляющегося на траектории градиентной динамической системы, существует соответствующий (двойственный) признак катастрофы для консервативных систем.
11. СТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ,
ДАЛЕКИЕ ОТ РАВНОВЕСНЫХ
В качестве первого примера неравновесных систем были рассмотрены консервативные динамические системы. Вторым примером являются диссипативные статические системы. Система может находиться в стационарном состоянии, далеком от состояния термодинамического равновесия, если в нее поступает некоторый внешний поток энергии, которую система расходует. Такой процесс сопровождается возникновением и «исчезновением» энтропии.
Для вычисления энергии основного состояния и свободной энергии, приходящихся на одну частицу, и при выводе динамических уравнений движения для гамильтонианов, описанных в разд. 3, оказались полезными различные вариационные принципы. Однако общего вариационного принципа [19] для отыскания стационарных состояний системы, далеких от состояния термо-
52
Глава 15
динамического равновесия, пока что нет (несмотря на постоянные уверения в обратном [20—22]).
Описанный в предыдущем разделе подход с использованием лагранжиана неприменим к рассматриваемым здесь диссипативным системам. Для определения стационарного состояния системы можно воспользоваться методом Ляпунова, если в наши рассуждения «подтасовать» некоторые феноменологические предположения. Ниже мы поясним, что и как для этого надо сделать. Пока же займемся изучением динамических свойств системы, анализируя уравнение движения Гейзенберга для средних значений операторов.
Если 0— некоторый оператор и <0>—его среднее значение, то зависимость <0> от времени описывается уравнением движения Гейзенберга
Ш ~ (О) = ([О, Щ + (15.137)
Если оператор О явно не зависит от времени, то последний член в (15.137) исчезает. В этом разделе предполагается, что все операторы явно от времени не зависят, поэтому dO/dt = 0.
В условиях термодинамического равновесия 6(0}/dt = 0, поэтому среднее [0, Ж] равно нулю. Если операторы включают все операторы сдвига, входящие в расширенные модели Дикке (a/,-, Eji j?=i), то полученное таким образом множество средних значений <[??,,#]> совпадает с системой уравнений, полученной из вариаций
6e“pf = 6tre_p^ = 0 (15.138)
по всем параметрам порядка (ц/,-, <Ец/N>, j?=i).
Для вывода феноменологического уравнения движения для среднего <0> в диссипативном случае будем предполагать, что:
а) внешние ограничения «сжимают» среднее значение <0}с до некоторого значения 0, которое экспериментатор может контролировать^
б) если система подверглась воздействию возмущения, то среднее значение оператора 0 постепенно вернется к своему невозмущенному значению с постоянной времени уд, т. е. воз-
— yt
мущение всегда затухает как 6(0}е 0 .
Эти феноменологические предположения можно непосредственно ввести в уравнение Гейзенберга для <0}, справедливое лишь для консервативных систем:
ih 4 <??)-> ih (4 + Yа) т - <0>с) (15.139)
Если оператор О не эрмитов, то <??> может и не быть действительным числом. В этом случае <С?> может зависеть от вре-
Квантовая механика
мени, оставаясь постоянной по абсолютной величине. Целесообразно выделить из <О> все быстро меняющиеся множители, записав их в виде явного фазового множителя:
