Прикладная теория катастроф Том 2 - Гилмор Р.
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
4. Лз < Л < Л4 (кривая Е, А — АЕ). От ветви цц = 0 отходят две ветви. Низкотемпературная ветвь, бифуркация которой происходит в точке Ег, описывает локальные максимумы и не представляет интереса. Бифуркация высокотемпературной ветви (в точке Е\) относится к катастрофе А_3. Эта ветвь вначале направлена в сторону высоких температур, затем она поворачивается и приходит в нуль. Между точками с вертикальной касательной эта ветвь неустойчива. Эти две точки определяют высоко- и низкотемпературные границы фазового перехода первого рода, происходящего в точке ТЕ. Неупорядоченное состояние становится неустойчивым ниже точки бифуркации Ех и остается таковым (с понижением Т) до тех пор, пока не будет достигнута точка бифуркации ?2. Ниже этой температуры неупорядоченная ветвь метастабильна.
5. Л = Л4 (кривдя F, А 5= Af — Л/гЬ)- Точка ц/г =0, Т = T=aTF=Tt,. Л/;=(Л/г)4 является трикритической. Это легко вытекает из следующих рассуждений. Функция Ф четная, и для одновременного обращения в нуль двух главных козффицйей'тов
Квантовая механика
39
С2(р) и С4(р) достаточно выбрать специальными лишь два управляющих параметра р, Ац. В этой точке росток функции Ф(Р) суть ±||Л/,|6. Из глобальной устойчивости следует, что коэффициент при этом члене должен быть положительным. При фиксированном Л == (A/t)4 при переходе Т через TF имеет место фазовый переход второго рода.
6. Л4 = Л (кривая G, А = Ло). Ветвь, ответвляющаяся в Gь глобально устойчива. Неупорядоченная ветвь метастабильна при 0 ^ Т ^ G2, неустойчива при G2 ^ Т ^ Gi и устойчива при Gi = Та ^ Т < оо. При переходе Т через Та в любом направлении происходит термодинамический фазовый переход второго рода.
О 0<) Фазовый переход первого рода с изменением энергии основного состояния происходит (Т = 0) при А = Л2.
ООО Теперь легко можно определить влияние возмущений классического гамильтониана (15.89), обусловленное классическим внешним полем, взаимодействующим с атомарной подсистемой, или классическим током, взаимодействующим с квантовомеханическим полем. Возмущения, нарушающие симметрию, исказят бифуркационную картину, однако существенно не изменят число и типы критических точек, возникающих при любой комбинации параметров управления (Л/,-, Т). Исследование этих возмущений не вызывает принципиальных трудностей, поскольку универсальные возмущения катастроф А2, Л±3, Л5, возникающих в этой модели, хорошо известны.
Описанное выше достаточно сложное поведение системы наблюдается только тогда, когда всего одна из констант связи K,i не равна нулю. Рассмотрим ситуацию, когда несколько констант связи отличны от нуля.
В этом случае мы вынуждены ограничиться общим описанием возможных явлений. Предположим, что все r(r—1)/2 постоянных связи %ц действительны. Тогда каждая точка (Х2Ь Х31, ... ,.., V, r-i) е представляет r-уровневую модель МГЛ
или Дикке. При достаточно высокой температуре Т такие модели дают устойчивое термодинамическое состояние, в котором все параметры порядка ц/; = 0. Открытое множество точек из Rr(r-1)/2 описывает модели, для которых характерно следующее качественное поведение. При понижении температуры от оо в точке Т\ происходит фазовый переход второго рода. При дальнейшем понижении температуры имеется единственный ненулевой параметр порядка вплоть до точки Т = Т2, где происходит второй фазовый переход второго рода. Ниже точки То имеются уже три ненулевых параметра порядка. Этот каскад переходов продолжается при понижении температуры Т до Т = Тг~и ниже
40
Глава 15
OJSO
0,97 0,81
а
... 1 1
) 0,1 0,2 0,3 0,4
Г
^21 В
^^\Рз2
, Л
Мзг
0,83
0,13
9- I I
| 1
0 0,1 0,2 0,3 0,4
т
#Z1 г
Рэг
Мз1 \ \
II I Л1 I \
0,1 0,2 0,3 о,и
о 0,1 o,i 0,3 о,4
т
Рис. 15.5. Зависимость критических значений термодинамических величин, входящих в трехуровневую модель Дикке с резонансным взаимодействием Йо)/г = е/ — в(, от безразмерной константы связи Л/,- = Л/t/ (е/ — е;).
Здесь V32 “(Ё2 - 8i)/(83 - 8i)= 0,2 и Ц2) = <E2\/N>, Цз2 = <EK/N>, Ц31 - <E3tlN>. Использовались следующие значения (Лш Л2з, Л13): а — (2; 1,7; 0,8); б—(0; 1,7; 0); в»» (2; 1,8; 0,7); г - (2; 1,8; 0,8).
которой все параметры [х/г порядка r(r — 1) /2 отличны от нуля. Последовательность переходов выглядит следующим образом:
Температура
Г3 Т2 Г,
Число пара- г (г — 1) (л — 1)(г — 2) метров, 2 2
отличных от нуля
..3+2+12+1 1
Открытое множество, мера которого в Rr(r~1)/2 несущественна, содержит сепаратрисы, на которых две или более критические температуры становятся равными (например, Т2 = Т3). При пересечении этих сепаратрис изменяется порядок бифуркации. Кроме того, в Rr(r—2>/2 имеются открытые области, описывающие модели, в которых происходит менее г—1 фазовых переходов второго рода. Качественный характер соединения та-
