Прикладная теория катастроф Том 2 - Гилмор Р.
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
Были рассмотрены два широких класса модельных систем: модели МГЛ, которые описывают системы только одного типа (нуклоны), и модели Дикке, которые описывают системы, состоящие из двух взаимодействующих подсистем (атомы и поле). Исходные модели МГЛ и Дикке служат прототипами двух общих классов рассмотренных моделей. Эти обобщенные модели могут включать как многоуровневые системы, так и сложные полиномиальные взаимодействия.
При довольно слабых предположениях энергия основного состояния для моделей из этих классов может быть определена по простому рецепту. Процедура начинается с замены оператора Гамильтона его средним или ожидаемым значением. Далее энергию основного состояния можно изучать как функцию констант связи, входящих в гамильтониан. Таким путем легко можно исследовать фазовые переходы.
Очень похожий прием годится для изучения термодинамических фазовых переходов, только здесь вместо энергии основного состояния фигурирует свободная энергия. Методика определения термодинамического равновесия системы использовалась как для моделей типа МГЛ, так и для моделей типа Дикке при обсуждении термодинамических фазовых переходов. Системы, в которых происходят фазовые переходы с изменением энергии основного состояния, претерпевают и термодинамические фазовые переходы. Были получены условия, при которых можно ожидать фазовых переходов второго рода в любой из систем, описываемых моделями указанных классов.
Средства и методы теории катастроф применимы как к равновесным, так и к неравновесным системам. Были исследованы топологические свойства «орбит» квантовомеханических систем. Орбиты, определяемые нестационарными уравнениями движения Хартри — Фока, проявляют свойство критического удлинения в окрестности вырожденной критической точки. Это явле-
64
Глава 15
ние, характерное для динамических систем, является аналогом критического замедления в диссипативных системах.
Что касается диссипативных систем, то изучались стационарные свойства моделей Дикке в состоянии, далеком от термодинамического равновесия. Раньше эти модели часто использовались для описания лазерных систем. Когда критическая точка сборки разворачивается соответствующим образом, можно ожидать новых физических явлений, одним из которых является оптическая бистабильность.
Примечания
Модель Дикке использовалась Хакеном и другими [28] для подробного теоретического изучения лазерных фазовых переходов. В их работах не вводились внешние возмущения, нарушающие симметрию, такие, как классический внешний ток или поле. Поэтому явление оптической бистабильности не было известно теоретикам вплоть до 1976 г. Такой длительной задержки можно было бы избежать, если бы физики были знакомы с идеями и методами элементарной теории катастроф.
Термодинамические фазовые переходы в модели Дикке впервые строго исследовались Хеппом и Либом [30]. Ванг и Хью [31] существенно упростили их выкладки, предложив алгоритмы, использующие когерентные состояния поля. Их результаты, хотя и оказались верными, не были, однако, строго обоснованы. Затем Хепп и Либ [32] предложили другой алгоритм, использующий атомные когерентные состояния. Этот алгоритм уже был строго обоснован. Атомные и полевые когерентные состояния рассматривались с единых позиций в алгоритме, предложенном Гилмором [9]. В это же время было введено понятие канонического ядра. Как только оказалось возможным исследовать фазовые переходы с помощью алгоритма, включающего потенциальную функцию, изучение влияния внешних возмущений, нарушающих симметрию, стало сравнительно простым делом [33, 34]. Эти различные этапы в развитии модели Дикке отражены в следующей таблице:
Внешние возмущения, нарушающие симметрию
1раипчные условия
отсутствуют присутствуют
Равновесные 1972 г. [30] 1976 г. [33, 34]
Неравновесные, стационар 1959 г. [28] 1976 г. [29]
ные
Явное сходство в поведении модели Дикке при равновесных и неравновесных стационарных граничных условиях наводит на мысль о возможности существования между ними формальной математической связи («аналитического соответствия»), которая и была установлена Гилмором и Нардуччи [25, 26].
Это аналитическое соответствие открывает следующую интригующую возможность. При равновесных гр-аничных условиях оба редуцированных ofiepaTopa плотности и (V имеют структуру
pafp (геометрия)]^ (физика).
Квантовая механика
65
Здесь р (геометрия) есть оператор, определенный на многообразии катастрофы сборки. Этот оператор имеет вид
Ра или F (геометрия) ~ exp (-NhA или F),
где полуклассические гамильтонианы hA и hF определяются выражением (15.35). Число М (физика) зависит от системного шума и фактически связано с температурой системы (М = |3). Аналогичная факторизация Вигнера— Экарта существует для оператора плотности, описывающего неравновесное стационарное состояние модели Дикке.
