Прикладная теория катастроф Том 2 - Гилмор Р.
Скачать (прямая ссылка):
Квантовая механика
41
ких открытых областей между собой очевиден. Любой из этих фазовых переходов второго рода можно заменить фазовым переходом первого рода; между фазовыми переходами второго рода могут происходить фазовые переходы первого рода.
Простейшими из расширенных моделей МГЛ и Дикке, проявляющими такое многообразие в поведении, являются трехуровневые модели. Критические значения термодинамических величин, входящих в эти модели, изучались [15] в предположении резонансного взаимодействия еу— е(- = Йсоу,-. Параметры порядка цу,(|3), минимизирующие функцию Ф(Р) при разных значениях безразмерных постоянных связи А у;, показаны на рис. 15.5.
8. ТЕОРЕМА О «СКАЧКЕ»
Обобщая результаты, представленные в разд. 5 и 6 можно утверждать, что если система, состояние которой описывается моделью МГЛ или Дикке, претерпевает фазовый переход (Г = 0) при увеличении параметров взаимодействия, то она также претерпевает термодинамический фазовый переход при возрастании температуры при фиксированных параметрах взаимодействия. Эта связь описывается уравнением
17IthipcE = 1, (15.101)
которое графически изображено в виде сепаратрисы в плоскости | V/e [ — Т (рис. 15.6).
а
5
Рис. 15.6.
а — сепаратриса отделяет ядерные системы с ненулевым параметром порядка (квадру-польный момент), проявляющие кооперативное поведение, от систем с независимым поведением частиц; б—состояние ядерной системы можно представить точкой сферы радиусом 1/2. В предельном случае (при Г-^О) точка лежит на поверхности сферы. В отсутствие внутриядерных взаимодействий эта точка лежит «иа южном полюсе», откуда отсчитывается параметр порядка 0. С ростом константы связи (при Т «0) точка движется по пути а->е, при этом в точке с система претерпевает фазовый пере* ход второго рода. С ростом температуры точка проходит путь e-+i, при этом в точке й рроисходит термодинамический фазовый переход второго рода.
42
Глава 15
При Т = 0 по мере возрастания параметра порядка | У| состояние системы вначале не претерпевает никаких изменений (а, Ь). Фазовый переход второго рода происходит в точке с, выше которой состояние системы упорядочено (d, е). Если сила взаимодействия | V| фиксирована, а температура возрастает, термодинамически состояние системы остается упорядоченным, однако с ростом Т параметр порядка уменьшается (е, f). Наконец, в точке g происходит термодинамический фазовый переход второго рода, и при более высоких температурах (h, i) система остается в неупорядоченном состоянии. Значения параметров порядка на переходе а->г показаны на рис. 15.6,6.
Для модели МГЛ такое поведение легко объяснимо. В пределе при Т0 в основном состоянии функции he в = 0 при малых значениях V. Функция
hc — — ег cos 0 —-1 V |(г sin 0)2 ~{еп^ + е-2г^) (15.102)
является аналитической функцией параметров порядка г, 0, ф и управляющих параметров е, V. Однако функция
4f= min hc (15.103)
п г=i/г, е, ф
уже не является аналитической функцией г, V; она аналитическая в открытых интервалах |У|/е>1 и | V|/е < 1. Сепара-
триса | V| /е = 1 определяет момент скачка минимума функции he с одной ветви уравнения V/ic = 0 на другую при нулевой температуре.
В случае конечной температуры необходимо минимизировать функцию Ф по параметрам порядка (г, 0, ф) при постоянной температуре. Вместо нее можно минимизировать функцию рФ:
$Ф = -д(г) + №с. (15.104)
Это аналитическая функция параметров порядка (г, 0, ф) и управляющих параметров (г, V, р), однако функция
Н1=тшрФ (15.105)
™ г. е, ф
уже не является таковой в пространстве IR2 = (|V|/e, Р). Минимум является аналитической функцией порознь в каждой из двух открытых областей выше и ниже сепаратрисы, определяемой уравнением (15.101). Высокие температуры служат для перенормировки взаимодействия (VV'= 2rV). Вследствие этого, если |V|/e> 1, то разложение min he по степеням | V| /е в окрестности точки 7 = 0, | V | /е = 0 или разложение ттф по степеням р в окрестности точки |У|./е>1, Р = 0 не сходятся к Eg/N и F/N соответственно,
Квантовая механика
43
Связь между фазовыми переходами, сопровождающимися изменением энергии основного состояния, и термодинамическими фазовыми переходами может быть сформулирована в виде так называемой теоремы о скачке [16, 17]. Эта теорема справедлива не только для гамильтонианов моделей МГЛ и Дикке, но и для гораздо более широкого класса моделей. Приведем лишь основные моменты ее доказательства.
Предположим, что система описывается гамильтонианом вида
50 (Я) = 58о + Л50/. (15.106)