Прикладная теория катастроф Том 2 - Гилмор Р.
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
Критическое поведение функции Ф(|3) можно исследовать, перейдя к пределу при Г->0 и рассматривая бифуркации упорядоченных решений в окрестности критической точки, которая существует при цц — 0 для всех температур (в силу симметрии относительно замены —н-/;)- Эти частные случаи показывают, что параметр порядка имеет четыре конкретных значения, характеризующих критические значения термодинамических величин, входящих в рассматриваемые модели [14].
При Г—v0 в член из (15.91), содержащий логарифм, входит только минимальное (наименьшее) собственное значение матрицы М (15.92), которое равно либо еь либо */2 (е/+ е*)— 0 в зависимости от значения Легко убедиться, что Ф((3) имеет две стационарные точки с ц/(- > 0, когда А2 > А2= 1 + 2(Atl/Ayi), где Л2г = — 8;) й(о/;; А/г *= ej — ел Меньшее из ненуле-
вых решений уравнения дФ/д\1ц = 0 Твсегда неустойчиво; бЬль-шее метастабильно относительно локального равновесия при (j,/« === 0 для А2 < Л.1 и глобально устойчиво для Л2 > Л? [гд<з Лг — Лг 1 = 2 (Ajj/Ayj)1 ].
2*
'Зб
Глава 15
Ветвления в критической точке ц/,- = 0 определяются из разложения Ф(Р, (х/г) в ряд Тейлора по степеням |(х/, |2:
Ф (Р. М = — Г‘ 1п« (р) + С2(Р)| I2 + С4 (р)11*/4 Г + ..
z(P )=te~*\ i=i
л*
C=<W=to«--i^7---------Гда----¦ (15-97)
Ненулевые решения в результате бифуркации ответвляются от (i/г = 0 при Сг(Р) = 0. Наименьшее значение Хц, при котором может произойти такая бифуркация, определяется из условия
-Ре?__ -Ре,
max Лз-—---------------=1. (15.98)
Т е [0, оо)
Функция (е ре/ — е ре/)/г (р) асимптотически стремится к нулю при Т-*¦ 0 или Т -*¦ оо и имеет в этой области единственный максимум. При Л > Лз существуют два ненулевых решения, ответвляющихся от ветви (i/i = 0. Решение, ответвляющееся при более низкой температуре, всегда неустойчиво. Устойчивость решения, ответвляющегося при более высокой температуре, зависит от знака С4(Р), который отрицателен приЛ2=Л3 и становится положительным при возрастании Т (когда Л2 возрастает) .
Критические значения термодинамических величин, входящих в расширенные модели МГЛ и Дикке с одним ненулевым взаимодействием между двумя возбужденными атомами, определяются величиной константы связи Хц или безразмерной константы Aji = Xji/ (е/ — е<). Константа связи имеет четыре критических значения:
ч2
/ * Ч* Ч' ?/< е‘~е 1 ^ 1
(A/;)i — j _ у • Уц — Bj _ < 1»
с5-")
Квантовая механика
37
Значение (Л^)2 определяется из равенств С2(Р) = 0 и С4(Р) = 0:
С2 (Р) ^ 1 — (Ац)1
2 е
¦ре«_е“ре/
z(P)
С4(Р):
-Ре? -Ре/ е 1 — е 1
(4е,
2(Р)
' Р («/ — ®i) '
\ _Ре/ \2
Ji) I ~е М
V Z (Р) : У
3~Pei _ е_Ре/ 2(Р)
(15.100)
Из этих двух условий одновременно однозначно определяются критическая температура и константа (А/г)2.
Критические значения термодинамических величин для данной модели в зависимости от Ац иллюстрируются на рис. 15.4. При ц// > 0 функция Ф(Р,ц/г) имеет не более двух критических точек. Ветвь ji^(P) описывает локально устойчивые критические
точки функции, а |i<(|3) — локально неустойчивые.Эти точки могут соединяться (кривые А, В, С, D и одна из двух кривых Е) или быть изолированными. Тип устойчивости точек, лежащих на сплошных участках ветвей ц/г(Р), меняется в точках с вертикальной касательной. Рассмотрим более подробно критическое поведение функции Ф в зависимости от Л/(:
1. Л <; Ль \iji = 0 при любой температуре.
Рис. 15.4. Значения параметров порядка-ц,г(|^К при которых потенциальная функция Ф(Ц; р) имеет стационарное значение,, для; семи значений безразмерной масшта'бйройаййСГй Константы связи Л.
38
Глава 15
2. Aj < Л < Л2 (кривая А, А = Лд). При достаточно низкой температуре существует метастабильное упорядоченное состояние; никаких термодинамических фазовых переходов не происходит.
3. Л2 < Л < Л3 (кривые В, С, D, Ав < Лс < Л0). При 7 = 0 наблюдается устойчивое упорядоченное состояние, которое в случае А = Ав остается устойчивым вплоть до температуры Т = ТВ. Выше этой температуры состояние становится метаста-бильным (ц/г = 0), причем если принят принцип Максвелла, то происходит фазовый переход первого рода, если же принят принцип максимального промедления, то — фазовый переход нулевого рода в складке на кривой В. Выше температуры Тв имеется только одна критическая точка — минимум при jx/,- = 0. При охлаждении от очень высоких температур при Т ~ТВ имеет место фазовый переход первого рода, если принят принцип Максвелла, и никаких фазовых переходов не происходит, если принят принцип максимального промедления. Если при очень низких температурах на систему оказать резкое воздействие, то произойдет фазовый переход нулевого рода из метастабильного в устойчивое состояние. Дальнейшее увеличение константы связи (Л-»-Ас, Ар) качественно не влияет на критические значения термодинамических параметров системы. Значения Тс, То, при которых происходят фазовые переходы первого рода, возрастают, как и температура, при которой возможен спинодальный распад. С дальнейшим увеличением Л расстояние между последней и температурой фазового перехода первого рода убывает.
