Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гилмор Р. -> "Прикладная теория катастроф Том 2" -> 18

Прикладная теория катастроф Том 2 - Гилмор Р.

Гилмор Р. Прикладная теория катастроф Том 2 — М.: Наука, 1990. — 287 c.
Скачать (прямая ссылка): prikladnayateoriyakatastrof1990.pdfСкачать (прямая ссылка): prikladnayateoriyakatastroft21990.pdf
Предыдущая << 1 .. 12 13 14 15 16 17 < 18 > 19 20 21 22 23 24 .. 121 >> Следующая

Предположим далее, что Жо описывает спектр энергетических уровней невзаимодействующей системы, а Ж\ описывает взаимодействие. Для расширенных моделей типа МГЛ можно взять

= EiEu/N, а Жг задать в виде полинома от Eij/N. Кроме того, будем считать, что Ж\ не содержит членов, линейных по Ец/N, и что <Ж1) инвариантен относительно замены z«->—2/. В этом случае состояние г,- = 0 (г = 2, г) является глобальным минимумом для <Ж0) и остается таковым для <Ж(Х)> при малых К в силу симметрии. Если при достаточно больших К функция Eg/N зависит от К явным образом, то Eg{\)/N не может быть аналитической функцией на всей прямой R1, поскольку Eg(k)/N не зависит от К в малом открытом интервале в окрестности нуля.

Из аналогичных рассуждений об аналитичности с очевидностью следует вывод о существовании термодинамического фазового перехода. Для этого необходимо минимизировать Ф и достаточно минимизировать

|ЗФ = -Л(6) + Р[<^0> + Л<ад. (15.107)

При Т -> оо имеем р->0, поэтому необходимо минимизировать

— а(6) (см. (15.74а)). Минимум для r-уровневой системы достигается при 6; = 1/г. При малых р в случае высоких температур можно разложить члены *(6), (Ж0) и <Ж1> по степеням малых параметров (б;—1 /г). Три члена, входящие в (15.107), имеют следующие порядки величины:

-а(6)~-1пг+<?[(бг-1)2], «^[(Х-т-)1], (15.108)

Оценка для (Жг) вытекает из предположения о том, что Ж\ не содержит членов, линейных по Ец/N. Короче говоря, при высоких температурах необходима перенормировка члена <Ж1>, описывающего взаимодействие, по отношению к невозмущенному
44

Глава 15

члену <<3^о> так, что К ->- X' ~ КО [ (б/—1 /г)]. С точностью до членов высшего порядка получаем

min РФ == — In г + min(<^o)- (15.109)

Итак, параметры порядка (отличные от б;), определяющие поведение функции Ф при высокой температуре, идентичны параметрам, определяющим поведение (2ё(к)} при малых X (слабые взаимодействия). Наличие термодинамического фазового перехода теперь следует из разложения Ф в ряд Лорана по степеням р в окрестности, нуля. Если Eg(K0)/N < Eg(0)/N, то при стремлении К к нулю при фиксированном Т = 0 возникает фазовый переход основного состояния, а при увеличении Т от нуля при фиксированном К = К0 возникает термодинамический фазовый переход.

9. СТРУКТУРНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ

И КАНОНИЧЕСКИЕ ЯДРА

Исследуя связь между фазовыми переходами, сопровождающимися изменением энергии основного состояния, и термодинамическими фазовыми переходами, мы не затрагивали ряд вопросов, связанных как с родом фазового перехода (первого рода, второго рода) и его устойчивостью к возмущениям (структурная устойчивость), а также с членами, «ответственными» за появление фазовых переходов (канонические ядра), так и с величиной сил взаимодействия и температурой перехода.

Следует заметить, что мы уделяем особое внимание термодинамическим фазовым переходам, поскольку этот общий класс моделей может содержать самые различные параметры, описывающие взаимодействие. Для изучения фазовых переходов прежде всего было бы необходимо очертить очень узкий класс моделей и имеющихся в них параметров взаимодействия (управлений). В случае же термодинамических фазовых переходов имеется лишь один управляющий параметр — температура, поэтому наши рассуждения остаются справедливыми для очень Широкого класса гамильтонианов.

Прежде чем перейти к описанию моделей этого класса, сделаем некоторые замечания общего характера. Катастрофа складки А2 типична для однопараметрического семейства функций. Такая катастрофа ассоциируется с фазовым переходом нулевого (в случае принципа максимального промедления) или первого (в случае принципа Максвелла) рода. Катастрофа сборки А+з типична для однопараметрического семейства функций при условии, что на это семейство наложены некоторые ограни-чения симметрии. Возмущения, нарушающие симметрию, обычно искажают бифуркацию, связанную с катастрофой А+3; последняя, как правило, заменяется катастрофой А2. Таким образом,
Квантовая механика

43

можно сделать следующие выводы о структурной устойчивости термодинамических фазовых переходов в системах, состояния которых могут быть описаны моделями Дикке:

1. Фазовые переходы нулевого и первого рода структурно устойчивы при всех возмущениях;

2. Фазовые переходы второго рода структурно устойчивы к возмущениям, сохраняющим симметрию; в противном случае фазовый переход или вообще исчезает, или проявляется в некоторой отдаленной точке как фазовый переход нулевого или первого рода.

Структурную устойчивость модели можно исследовать, не зная ее детального устройства. Для этого достаточно проанализировать симметрию модели. Если же необходимо выявить более существенные моменты, то требуются более конкретные сведения о модели. В этом случае проще всего ввести пару трехкомпонентных объектов и = (и3, и+, ц_) и v = (Уз, v+, V-) и три функции h, tiQ, he- Функция h — h(u, v) зависит от шести аргументов u, v. Квантовомеханический оператор Ж/N = hQ получается из h посредством подстановок операторов, приведенных в табл. 15.3, и последующей симметризации (если это необходимо). Классический предел (2%>/N') = hc получается из h подстановками с-чисел, указанных в той же таблице.
Предыдущая << 1 .. 12 13 14 15 16 17 < 18 > 19 20 21 22 23 24 .. 121 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed