Прикладная теория катастроф Том 2 - Гилмор Р.
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
г(Р)=Ее"Ре'- (15Л49)
i =»1
В этом случае функция \ц — \ц положительна. Когда включается накачка, возбужденные уровни становятся более заселенными за счет нижних уровней. Однако все параметры порядка V,-/ остаются нулевыми до тех пор, пока между какими-либо
уровнями не установится инверсная заселенность. В частности,
бифуркация упорядоченного состояния \ц ф 0 возникает при силе «акачки, равной
(15.150,
Положив г — 2, получим феноменологическую теорию лазера, основанную на модели Дикке и развитую Хейкеном и другими.
Из r-уровневой модели Дикке следует, что стационарное поведение может быть весьма разнообразным. Если только одна из констант Xji отлична от нуля, то может произойти фазовый переход второго рода при условии, что инверсная заселенность
56
Глава 15
!
1
I
Ю 20 30 40
Номер канала
50
60
Рис. 15.8. Функция распределения фотосчетчика для лазера в предпороговом (G) и дальнем послепороговом (L) режимах [24]. (S — статистическая смесь излучения лазера в этих двух режимах.)
достаточно большая. Часто этого удается добиться селективной накачкой одного уровня при «холодных» других. Описание такого фазового перехода нисколько не отличается от описания двухуровневой модели Дикке [23]. В том случае, когда более одной константы связи отличны от нуля, возможны фазовые переходы первого рода. В случае принципа максимального промедления эти переходы определяются ответвлением ненулевых решений от множества решений [(х/,(с), v,7(c)] = 0 уравнений (15.146), где управляющими параметрами являются инверсные заселенности (va)c. Такие фазовые переходы в действительности происходят в спинодальных точках и имеют нулевой род. Фазовые переходы первого рода обычно происходят на максвелловском множестве З’м- Оно хорошо определено, только если уравнения (15.147), определяющие стационарное состояние, можно вывести из потенциала. В противном случае (если повезет) можно будет найти фазовый переход первого рода по правилу Максвелла.
Как только найдено множество устойчивых решений (15.146), средние значения всех одночастичных операторов тем самым определены, как и средние для всех фотонных операторов а+а, аа+ для каждой моды. Эти средние можно использовать для вычисления редуцированных операторов плотности рА, pF атомов и поля. Оператором плотности для r-уровневой системы является (г X г)-матрица, т. е.
= <*</> =trРа*ф Р(15.151) . «• /
Квантовая механика
57
Для одной моды поля возможно бесконечное число состояний. Тем не менее редуцированный оператор плотности поля можно следующим образом записать как функцию средних значений операторов:
p^eMla+a-<at>a~<a>a4 (15.152)
где
JC = —- = (a+a) — (a+) (a)
е — 1
определяет параметр М и шум N через корреляционную функцию <a+a) — <a+)<a).
Оператор плотности использовался при построении функции распределения фотосчетчика для лазера с произвольным отношением сигнал/шум ^/Jf, где 9? = <а+> <а>. Эта функция сравнивалась с экспериментальной, полученной для лазера, работающего в предпороговом и дальнем послепороговом режимах (рис. 15.8).
12. КРАТНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ
Покажем, как можно добиться более ясного понимания физических явлений, используя теорию универсальных возмущений.
На протяжении всей этой главы мы постоянно пользовались «принципом лома». Большинство критических свойств, которые мы рассматривали, зависят от одного управляющего параметра. Типичные однопараметрические семейства потенциальных функций в худшем случае обладают вырожденными критическими точками типа А2 и представляют ограниченный интерес. Повсюду предполагалась симметрия гамильтонианов. Этого было достаточно, чтобы подавить катастрофу складки и допустить возможность появления катастрофы сборки А±3 в соответствующих однопараметрических потенциальных функциях. Тогда возникающие бифуркации можно рассматривать как сечения этих катастроф, а остальные области критического многообразия можно исследовать, только если ввести члены, нарушающие симметрию.
Использование «принципа лома» для сведения нелинейной задачи к бифуркационной дает ряд преимуществ вычислительного характера. Во-первых, точки бифуркаций легко локализовать. Если имеётся некоторая потенциальная функция, то эти точки .находятся из условия det Уц — 0. Если же нет такой функции, но есть система уравнений движения xi = Fi, то бифуркации от стационарной ветви можно найти из уравнения det/7,/ = 0. Симметрия, имеющаяся в исходной задаче, упрощает построение всех равновесных или стационарных ветвей, поскольку решения уравнений dV/dxi — 0 или Fi — 0 имеют вид
58
Глава 15
симметричных пар. Устойчивость вдоль этих ветвей можно проанализировать, вычисляя собственные значения Уц или Fa. Однако некоторые элементарные теоремы позволяют обойтись и без этого: устойчивость вдоль бифуркационной ветви (Л±3) полностью определяется устойчивостью исходной ветви и типом возникающей катастрофы.
