Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
§ 12. Независимость аксиом непрерывности (неархимедова геометрия)
Чтобы показать независимость аксиомы Архимеда V,, мы должны построить геометрию, в которой выполнялись бы все аксиомы, за исключением аксиом V*), которые не должны выполняться.
Для этой цели мы образуем область Q (t) всех тех алгебраических функций переменной t, которые получаются из if с помощью применения пяти операций: сложения, вычитания, умножения, деления и операции при
этом to означает некоторую функцию, которая уже была получена с помощью применения этих пяти операций. Множество элементов й (t), точно так же, как и множество элементов Q в § 9, — счётно. Все же пять операций однозначны и выполнимы в действительной области; поэтому область й(<) содержит только однозначные действительные функции переменной t.
*) Ж. Веронезе в своём глубоком исследовании «Основы геометрии» (G. Veronese, Grundztlge der Geometrie, переведено на немецкий языкА. Schepp'oM, Leipzig, 1894) также сделал попытку построить геометрию, которая была бы независима от аксиомы Архимеда.
§ 12. НЕЗАВИСИМОСТЬ ЛКСИОМ НЕПРЕРЫВНОСТИ 107
Пусть с — некоторая функция, принадлежащая области И ((); так как функция с является алгебраической функцией переменной /, то она может обращаться в. нуль только для конечного числа значений t и, следовательно, для достаточно больших положительных значений t функция с либо всё время положительна, либо всё время отрицательна.
Будем теперь рассматривать функции, принадлежащие области Q {(), как некоторого рода комплексные числа, причём последние мы будем понимать в смысле, который будет указан в следующем, 13-м параграфе; очевидно, что в определённой таким образом комплексной числовой системе имеют место все обычные вычислительные правила [4г]. Далее, пусть а и b — два каких-то отличных друг от друга числа этой комплексной числовой системы. Мы будем говорить, что а больше или меньше b (это обозначают так: а b или а<^Ь), в зависимости от того, будет ли разность с^=а — b, рассматриваема» как функция переменной t, постоянно положительна или постоянно отрицательна для достаточно больших положительных значений (. При таком соглашении числа нашей комплексной числовой системы можно упорядочить по их величине, подобно тому, как это делают для действительных чисел; как легко видеть, для чисел нашей комплексной системы справедливы также теоремы, согласно которым неравенство останется справедливым, если к обеим его частям прибавить одно и то же число иди обе его части умножить на одно и то же положительное число.
Пусть я — некоторое произвольно выбранное, положительное целое число. В таком случае для чисел л и if области Q(t) наверное имеет место неравенство n<^t, так как разность n — t, рассматриваемая как функция переменной t, для достаточно больших положительных значений t, очевидно, всегда будет отрицательна. Эти факты мы выражаем следующими словами: числа 1 и t области 2(0» которые оба больше нуля, обладают тем свойством, что любое число, кратное первому из них, всегда меньше второго.
С помощью комплексных чисел ноля Q (() мы теперь построим геометрию точно таким же образом, как это было
108 гл. It. НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ И НЕЗАВИСИМОСТЬ АКСИОМ
сделано в § 9, когда в основу построения было положено поле Q алгебраических чисел: мы будем рассматривать систему трёх чисел (х, у, г) поля Q (t) как точку, а отношение каких-либо четырёх чисел (u:v:w:r) поля 2(<), три из которых и, v, w одновременно не равны нулю,— как плоскость. Далее, пусть выполнение равенства
их -f- vy-Ь адг -(-/¦ = 0
выражает, что точка (лг, у, г) лежит на плоскости (u:v:w:r); примем, наконец, за прямую линию совокупность всех точек, лежащих в двух Плоскостях, у которых отношения uw.w различны. Если мы теперь установим порядок следования элементов и правила откладывания отрезков и углов, как это было сделано в § 9, то перед нами окажется теар-химедова> геометрия, в которой, как показывают разобранные нами ранее Свойства комплексной числовой системы выполняются все аксиомы, за исключением
аксиомы непрерывности. Действительно, мы можем сколь угодно раз подряд отложить отрезок I на отрезке t, не перешагнув при этом через конец отрезка t\ этот факт противоречит аксиоме Архимеда.
Независимость аксиомы полноты V2 от всех предшествующих аксиом I—IV, V, обнаруживает первая установленная. в § 9 геометрия, так как в этой геометрии аксиома Архимеда выполняется.
Имеют принципиальное значение также неархимедовы и вместе с тем неевклидовы геометрии, и особо большой интерес представляет та роль, которую играет аксиома Архимеда при доказательстве теоремы Лежандра. Исследование, которое предпринял по моей инициативе М. Дэн*) относительно этого вопроса, привело к полному его выяснению. В основе исследований Дэна лежат аксиомы I—III. Только в конце работы Дэна аксиом порядка II были представлены в более общем виде, чем в данном изложении, с целью включить в поле исследования также и ри-
