Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
Из (1*) и (3*) следует, конгруентность:
Зс ОГУВ = ЗС О АС,
а потому вокруг четырёхугольника BAD'C также можно описать окружность. Отсюда, на основании теоремы об углах четырёхугольника, вписанного в окружность, получается,
что
2C0AD‘=$:0CB. (4»)
Далее, так как по условию СВ' параллельна ВС, то
Зс ОВ'С= 5с ОС В. (5*)
Из (4*) и (5*) следует, что
$:oad'=$:ob'c.
120
ГЛ. III. УЧЕНИЕ О ПРОПОРЦИЯХ
Последняя конгруентность показывает, что вокруг четырёхугольника CAD'B' также можно описать окружность, а потому
ОАВ' = •§? OD'C. (6*)
Из (2*) и (6*) вытекает, что
ZCOBA'=$:OAB’.
Эта конгруентность показывает, что прямые ВА' и АВ’ параллельны, как это и утверждает теорема Паскаля.
Если точка D' совпадает с одной из точек А’, В’, С или если точки А, В, С расположены в ином порядке, то в доказательство надо внести изменения, которые устанавливаются без труда *).
§ 15. Исчисление отрезков на основании теоремы Паскаля
Теорема Паскаля, доказанная в предыдущем параграфе, даёт нам возможность ввести в геометрию исчисление отрезков, в котором сохра-
— а
- Ъ
с-а*Ь----------------Н
пяются без изменения все правила вычислений с дей-
ствительными числами.
Черт. 45. Вместо слова «конгру-
ентны» и значка =, мы в исчислении отрезков будем пользоваться словом «равны» и значком =.
Пусть А, В, С суть три точки на прямой, и пусть В лежит между А и С; мы будем говорить, что с —АС есть сумма двух отрезков а — АВ и Ь = ВС [черт. 45], и положим
с = a -j- Ь.
Мы будем говорить, что отрезки а и Ь меньше с, и обозначим это так:
____________ а < с, Ь<^с\
*) Заслуживает также интереса применение, которое имеет теорема о пересечении трёх высот треугольника в одной точке в обосновании теоремы Паскаля, а также и учения о пропорциях: см. об этом также статью F. S с h u f, Math. Ann. т. 57 и J. Mol letup, «Studier over den plane geometris Aksiomer», Kopenhagen, 1903.
§ 15. ИСЧИСЛЕНИЕ ОТРЕЗКОВ
121
про отрезок с мы будем говорить, что он больше отрезков а и ft, и будем записывать это так:
с а, с^>Ь.
Из линейных аксиом конгруентности IIIt_3 легко заключить, что для только что определённого сложения отрезков имеют место законы ассоциативный (сочетательный):
a-f-(ft + с) = (« + &) +С и коммутативный (переместительный):
? —j- ft ft —&.
Для того, чтобы геометрически определить произведение отрезка а на отрезок ft, воспользуемся следующим построением. Прежде всего, выберем произвольный отрезок, аЬ
который останется неизменным в процессе всего рассуждения, и обозначим его через 1. От- а
ложим теперь на одной стороне прямого угла от его вер- O' t ^
шины О отрезок' 1 [черт. 46], Черт 46>
а затем отложим от той же
вершины О отрезок ft; после этого на другой стороне угла отложим отрезок а. Соединим далее концы отрезков 1 и а прямой и проведём прямую параллельно этой прямой через конец отрезка ft. Пусть эта прямая отсечёт на другой стороне угла отрезок с; этот отрезок с мы назовём произведением отрезка а на отрезок Ь и будем обозначать его так:
c = ab.
Докажем, что для только что определённого умножения отрезков имеет место коммутативный закон
ab — Ьа.
С этой целью построим сначала по ранее установленному способу отрезок aft. Далее, отложим на первой стороне прямого угла отрезок «, а на второй его стороне —
122
ГЛ. III. УЧЕНИЕ О ПРОПОРЦИЯХ
отрезок Ь, соедииим прямой конец отрезка 1 с концом отрезка Ь, отложенного на второй стороне угла, и проведём прямую, параллельную только что построенной, через конец отрезка а, отложенного на первой стороне угла [черт. 47]; эта последняя отсечёт на второй стороне
угла отрезок Ьа. В действительности, как показывает чертёж [47], этот отрезок Ьа совпадает с отрезком ab в силу теоремы Паскаля (теорема 40), если использовать параллельность вспомогательных пунктирных линий [47J. Как легко заметить, обратное утверждение также верно: из допущения, что в нашем исчислении отрезков справедлив коммутативный закон, вытекает указанный на стр. 117—118 частный случай теоремы Паскаля для таких фигур, в которых лучи О А и О А' образуют прямой угол.
Докажем теперь, что умножение отрезков подчиняется ассоциативному закону:
a (be) = (аЪ) с.
Для этого отложим на одной из сторон прямого угла [черт. 48] от его вершины О отрезки 1 и Ь, а на другой его стороне, опять-таки от вершины О, отложим отрезки а и с. Затем построим отрезки d=ab и e — cb и отложим эти отрезки d и е на первой стороне угла от точки О. Если мы построим теперь ещё отрезки ае и cd,
