Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство второй теоремы 43 не представляет заг труднений [62].
Понятия: прямоугольник, основание и высота параллелограмма, основание и высота треугольника мы определяем обычным образом.
134
ГЛ. IV. УЧЕНИЕ О ПЛОЩАДЯХ НА ПЛОСКОСТИ
§ 19. Параллелограммы и треугольники с равными основаниями и высотами
Известное доказательство Евклида, иллюстрируемое чертежом [56], приводит нас к теореме:
Теорема 44. Два параллелограмма с равными основаниями и равиыми высотами равновелики по дополнению. Далее имеет место следующее известное предложение:
Черт. 56.
Теорема 45. Любой треугольник ABC равновелик по разложению некоторому определённому параллелограмму, имеющему такое же основание и высоту, равную половине высоты треугольника.
Доказательство [черт. 57]. Разделим пополам сторону АС точкой D, а сторону ВС точкой Е и затем продолжим отрезок DE посредством конгруентного ему отрезка до точки F. Тогда треугольники DCE и FBE будут конгруентны и, следовательно, треугольник ABC и с параллелограмм ABFD будут равновелики
по разложению.
Из теорем 44 и 45, принимая во внима-F ние теорему 43, мы получаем следующее: Теорема 46. Два треугольника с равными основаниями и равными высотами равновелики по дополнению.
Известно, что легко доказать (это показывает чертёж [58]) равновеликость по р а з л о ж'е н и ю двух параллелограммов, а следовательно, в силу теорем 43 н 45, и двух треугольников с равными-основаниями и равными высотами. Заметим, однако, что это доказательство невозможно без применения аксиомы Архимеда', действительно, в каждой неархимедовой геометрии (см., например, главу II, § 12)
§ 19. ПАРАЛЛЕЛОГРАММЫ И ТРЕУГОЛЬНИКИ 135
можно задать два треугольника, имеющих равные основания и равные высоты и, следовательно, согласно теореме 46, равновеликих по дополнению, но всё же неравновеликих по разложению.
Именно, пусть в некоторой неархимедовой геометрии на луче отложены два отрезка АВ = е и AD — a [черт. 59] таких, что ни для какого целого числа и не выполняется соотношение
Восставим нз концов отрезка AD два перпендикуляра АС и DC' длиною е. Треугольники ABC и ABC', согласно теореме 46, равновелики по дополнению. Из теоремы 23 следует, что сумма двух сторон треугольника больше третьей, причём сумму отрезков надо здесь понимать в том смысле, который был указан в исчислении отрезков, введённом в главе III.
Итак, ВС <^е -\-е = 2е. Далее, не пользуясь непрерыв-
• ностью, можно доказать следующее предложение: отрезок,
целиком лежащий внутри треугольника, меньше большей стороны этого треугольника [Б31. Тем самым доказано, что любой отрезок, лежащий внутри треугольника ABC, меньше 2е.
Положим теперь, что существует разложение треугольников ABC и ABC' на конечное число, например на к, попарно конгруентных друг другу треугольников. Каждая из сторон частичного треугольника, входящего в разложение треугольника ABC, либо лежит внутри этого треугольника, либо на одной из его сторон, а
Черт. 59.
136
ГЛ. IV. УЧЕНИЕ О ПЛОЩАДЯХ НА ПЛОСКОСТИ
потому она меньше 2е. Периметр каждого треугольника, таким образом, меньше 6е, а следовательно, сумма периметров всех таких треугольников меньше 6А-е. Разложение треугольников ABC и ABC должно дать одну и ту же сумму периметров частичных многоугольников. Поэтому сумма периметров треугольников, вошедших в разложение треугольника ЛВС', также должна быть меньше 6k -е. Между тем, в эту сумму, наверное, входит целиком сторона АС', т. е. должно иметь место неравенство АС в таком случае, в силу
теоремы 23, неравенство a<^6k-e и подавно должно иметь место. Однако это последнее соотношение противоречит предположению относительно отрезков ей а. Итак, предположение о возможности разложения треугольников ABC и ABC иа попарно конгруентные частичные треугольники приводит иас к противоречию.
Важные теоремы элементарной геометрии относительно равиове/шкости треугольников по дополнению, а также теорема Пифагора легко выводятся из только что указанных теорем. Упомянем ещё теорему:
Теорема 47. Для любого треугольника (а, значит, и для любого простого многоугольника) можно всегда построить равновеликий ему по дополнению прямоугольный треугольник, у которого один из катетов равен 1.
Это утверждение в своей части, касающейся треугольников, легко вывести из теорем 46, 42 и 43 [54]. Утверждение же относительно многоугольников доказывается следующим образом. Разложим данный простой многоугольник иа треугольники и определим для этих последних равновеликие им по дополнению прямоугольные треугольники, у каждого из которых один катет равен 1. Если рассматривать в этих треугольниках катеты, равные 1, как высоты, то, опять с помощью теорем 43 и 46, можно объединить эти треугольники (см. стр. 132), чем наше утверждение и будет доказано [66].
При дальнейшем проведении теории площадей мы встречаем, однако, одну существенную трудность. А именно, предыдущие исследования оставляют нерешённым вопрос о том, не равновелики ли все многоугольники по дополнению. Если бы это было так, то все установленные нами
