Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
.Заметим, что только что обнаруженные факты можно без труда вывести и непосредственно из теоремы 42 учения
о пропорциях или из теоремы 61.
§ 23. НЕДОКАЗУЕМОСТЬ ТЕОРЕМЫ ДЕЗАРГА 149
§ 23. Недоказуемость теоремы Дезарга в плоскости без аксиом конгруентности
Рассмотрим теперь вопрос о том, можно ли доказать теорему Дезарга в геометрии на плоскости, не пользуясь аксиомами конгруентности.. Мы приходим к следующим результатам. '
Теорема 54. Существует геомещрйя плоскости, для которой выполняются,аксиомы 1,_3, 11, Ш,_4 IV*, V, т.е, для которой выполняются все аксиомы, касающиеся прямой и плоскости, исключая аксиомы о конгруентности Ш4, и для которой теорема Дезарга (теорема 53) всё же не имеет места. Теорема Дезарга, стало быть, не может быть получена, как следствие только перечисленных[ аксиом; для её доказательства необходимы либо пространственные аксиомы, либо аксиома Ш5, относящаяся к конгруентности треугольников.
Доказательство*}. Изменим b обычной дека1рто-вой геометрии на плоскости, в возможности кбтброй мы уже убедились в § 9 главы .11, определения прямых и углов следующим образом. Примем некоторую прямую в декартовой геометрии за ось и будем иа этой оси различать положительное и отрицательное направления, а также положительную и отрицательную полуплоскости относительно оси.
Примем за прямую в нашей новой геометрии [черт. 65] ось и всякую параллельную ей в декартовой, геометрии прямую, затем — всякую прямую декартовой геометрии, луч которой, лежащий в положительной полупло-
'¦') В этом месте, взамен использованной в предыдущих изданиях первой «недезарговой геометрии»,’будет д№й неекольКО’ более простая «недезаргова геометрия», достроенная впервые AJ у л ь т о н о м. См. F. R. М о u 11 о п, «А simple non*desarguesiait plane geometry», Trans Math. Soc., 19012.
150
ГЛ. V. ТЕОРЕМА ДЕЗАРГА
скости, образует прямой или тупой угол с положительным направлением оси, и, наконец, —каждую систему двух лучей А, А декартовой геометрии, обладающую следующими свойствами: точка, из которой исходят лучи А и А, лежит на оси; луч А, лежащий в положительной полуплоскости, образует с положительным направлением оси острый угол а, а продолжение к' луча А, проходящего в отрицательной полуплоскости, образует с положительным направлением оси такой угол р, что в декартово^ геометрии имеет место соотношение
Порядок точек и длины отрезков на прямых, в том числе и на тех, которые представляют собою в декартовой геометрии систему двух лучей, определяются очевидным образом, как обычно. Как легко убедиться, в определённой таким образом геометрии имеют место аксиомы 11_3,
Н, III,_S| IV* [•']. Например, можно непосредственно заметить, что прямые, проходящие через одну точку, однократно покрывают плоскость. Кроме того, в этой геометрии имеют место также и аксиомы V.
Все углы, не имеющие и и одной стороны, исходящей из точки на оси, идущей в положительной полу-
новой геометрии мы примем величину того угла со' в декартовой геометрии, стороной которого вместо луча А служит луч А' [см. черт. 65]. Этот способ определения для двух пар смежных углов поясняет чертёж [66]. В силу нашего
f-P = 2. tg«
Черт. 66.
плоскости и образующей с положительным направлением оси острый угол, измеряются так, как это обычно делается в декартовой геометрии [®2]. Если же, напротив, хотя бы одна из сторон угла ш представляет собою луч А, обладающий только что указанными свойствами, то за величину угла ш в
§ 24. ИСЧИСЛЕНИЕ ОТРЕЗКОВ НА ОСНОВЕ ТЕОРЕМЫ 151
определения углов выполняется аксиома Ш4. В частности, для каждого угла (Л т) имеет место соотношение:
Но, как непосредственно можно видеть из чертежа [67] и как легко подтвердить Вычислениями, в новой плоской геометрии теорема Дезарга несправедлива. Кроме того, так жз легко показать на чертеже, что и теорема Паскаля в этой геометрии неверна.
Построенная, здесь «неде-заргова» геометрня на плоскости является в то же время Черт. 67.
примером геометрии на плоскости, в которой имеют место аксиомы I,_3, II, III, _4, IV*, V и которая всё же не может быть рассматрнваема как часть пространственной геометрии *).
§ 24. Введение исчисления отрезков без помощи аксиомы конгруентности на основе теоремы Дезарга**)
Чтобы полностью выявить назначение теоремы Дезарга (теорема 53), мы положим в основу исследования плоскую геометрию, в которой выполняются аксиомы 11>а, И, IV*,
*) Дальнейшие интересные примеры иедезарговой геометрии даёт Морманн, См. Н. Mohrmann, «Festschrift David Hilbert», Berlin 1922, стр. 181.
**) Г ессенберг в своей работе (Q. Hessenberg, «Ueber einen geometrischen Kalktll», Acta math. т. 29, 1904) даёт вывод исчисления отрезков, по идее примыкающей к проективной геометрии. Некоторые части этого вывода получаются легче, если предварительно разработать учение о сложении векторов на плоскости на основании теоремы Дезарга. См. Holder, «Strecken-rechnung und projektive Geometrie», Leipz. Ber., 1911.
