Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
ак уже было отмечено, теорему Дезарга (теорему 53) можно доказать, исходя- из аксиом
I, II, IV*, т. е. существенно пользуясь пространственными аксиомами, но не прибегая к помощи аксиом конгруентности. В § 23 я показал, что если даже допустигь пользование аксиомами непрерывности, то и тогда доказательство теоремы Дезарга невозможно без пространственных аксиом группы I и без аксиом конгруентности.
В § 14 теорема Паскаля (теорема 40)j а в § 22 теорема Дезарга были доказаны на основании аксиом 11_3,
II—IV, т. е. без пространственных аксиом, но при существенном использовании аксиом конгруентности. Является вопрос, нельзя ли доказать также и теорему Паскаля, опираясь на пространственные аксномы соединения, но не используя аксиом конгруентности. Наше исследование покажет, что теорема Паскаля в этом отношении существенно отличается от теоремы Дезарга, а именно, принятие аксиомы Архимеда, или исключение её имеет решающее значение для вопроса о справедливости этой теоремы. Так как в этой главе аксиомы конгруентности вообще не предполагаются установленными, то аксиома Архимеда должна быть изложена в ней в следующей редакции:
Vf (акснома Архимеда для исчисления отрезков). Пусть даны на прямой g отрезок а и две точки А и В. В таком случае всегда можно найти некоторое
170
ГЛ. VI. ТЕОРЕМА. ПАСКАЛЯ
количество точек Аи А2,..., А„—г, А„ таких, чтобы точка В лежала между точками А и Ап, а отрезки AAV AyA2,..., 1 Ап были бы равны отрезку а в смыс-
ле исчисления отрезков, которое вводится на основании аксиом I, II, IV* и теоремы Дезарга, как это было сделано в § 24 [71].
Главнейшие результаты нашего исследования мы сформулируем в виде следующих двух теорем:
Теорема 57. Теорема Паскаля (теорема 40) доказуема на основании аксиом I, II, IV*, V*, т. е. при условии исключения аксиом конгруентности и принятия аксиомы Архимеда.
Теорема 58. Теорему Паскаля (теорема 40) невозможно доказать на основании аксиом 1,11, IV*, т. е. при условии исключения как аксиом конгруентности, так и аксиомы Архимеда.
На основании общей теоремы 56, в формулировке этих двух теоргм аксиомы 14_8 могут быть заменены требованием, чтобы в плоской геометрии имела место теорема Дезарга (теорема 53).
§ 32. Коммутативный закон умножения в архимедовой числовой системе
Доказательство теорем 57 и 58 существенно основывается на некоторых определённых взаимоотношениях, существующих между вычислительными правилами и основными положениями арифметики, знакомство с которыми предг ставляет интерес само по себе. Мы утверждаем справедливость следующих двух теорем:
Теорема 59. В архимедовой числовой, системе коммутативный закон умножения является необходимым следствием остальных законов; это значит, чтб если числовая система обладает свойствами 1—11, 13—17, перечисленными в§ 13, то отсюда необходимо следует, что в ней имеет место и формула 12.
Доказательство. Заметим сначала следующее. Если а — любое число нз нашей числовой системы и
§ 31. УМНОЖЕНИЕ В АРХИМЕДОВОЙ ЧИСЛОВОЙ СИСТЕМЕ 171
— положительное целое рациональное число, то для а и я всегда имеет место коммутативный закон; действительно^
ап = а(1 ~j~ 1 ... —{- 1) = а -1 -|-я-1 —|- ... -\-а-1 = .
и —а —.,. —и
и точно так же
««(1-^—1 —... —1~ 1) а = 1 • гг —{— 1 ¦ я —... —1 - а =
= а -f - а -|-... а.
Предположим теперь, что, вопреки нашему утверждению, в нашей числовой системе существует два числа а, Ь, для которых коммутативный закои умножения неверен. В таком случае мы, как легко заметить, имеем право сделать следующие допущения:
а^>0, ?>^>0, аЬ—Ьа~^> 0 [72].
Согласно требованию 5 § 13, существует число с(^>0), удовлетворяющее равенству:
(а-{- b-\-\)c = ab — Ьа.
Далее, выберем число d, удовлетворяющее одновременно трём неравенствам
<*>0, 1, <*<с;
наконец, обозначим буквами тип два целых рациональных неотрицательных числа, для которых
md <^а^(т-\- 1) d
и
nd<^b^(n-\- \)d.
Существование таких чисел тип является непосредственным следствием предложения Архимеда (предложения 17 § 13). В силу замечания, сделанного в начале этого доказательства, мы в результате умножения последних неравенств получаем:
аЬ тпсР -J- (т ~f- п -}- 1) <Р,
Ьа^>тпсР\
вычитая полученные неравенства, найдём, что ab—ba (т -j- п -j- 1) сР.
172
ГЛ. VI. ТЕОРЕМА ПАСКАЛЯ
Однако так как
md <^а, itd<^b, d<^ 1,
го
(ли —1— « —|— 1)0? я ft -|— 1 >
т. е.
ab — ba<^_(a-\- b -}- 1) d, и, следовательно, ввиду того, что d<^c, ab—-ba<^(a-\-b-\-\)c.
Это же последнее неравенство противоречит определению числа ct и, следовательно, теорема 59 доказана.
§ 33. Коммутативный закон умножения в неархимедовой числовой системе