Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
§ 21. РАВНОВЕЛИКОСТЬ И МЕРА ПЛОЩАДИ
143
Результаты, полученные в этом и предыдущем параграфах, мы объединим в следующую теорему:
• Теорема 51. Два-равновеликих по дополнению многоугольника имеют всегда одинаковую меру площади, и два многоугольника с одинаковой мерой площади всегда равновелики по дополнению.
В частности, у двух равновеликих по дополнению прямоугольников, имеющих общую сторону, другие стороны равны. Отсюда следует также теорема:
Теорема 52. Если прямоугольник с помощью прямых разбить на некоторое число треугольников и если хотя бы один из этих треугольников опустить, то оставшимися треугольниками невозможно заполнить прямоугольник.
Эта теорема была принята Децольтом*) и
О. Штольцем**) за аксиому, а Ф. Шуром***) и В. Киллингом**¦**) доказана с помощью аксиомы Архимеда. Предыдущее изложение показывает, что эта теорема совершенно не зависит от аксиомы Архимеда.
Для доказательства теорем 48, 50, 51 мы существенно использовали введённое нами в § 15 третьей главы исчисление отрезков; это последнее существенно опирается на теорему Паскаля (теорема 40), илн, точнее говоря, на частный случай этой теоремы (стр. 117); таким образом, оказывается, что теорема Паскаля служит важнейшим краеугольным камнем в учении о площадях.
Легко также убедиться в том, что, обратно, из теорем 46 и 48 следует теорема Паскаля. Действительно, из параллельности прямых СВ' и СВ [черт. 63] следует по теореме 46, что треугольники ОВВ! и ОСС равновелики по дополнению; аналогично, из параллельности прямых СА' и АС следует, что треугольники ОАА' и ОСС равно-
*) De Zolt, Principii della eguaglianza di poligoni preceduti da alcuni critici sulla teoria della equivalenza geometrica. Milano, Briola 1881. Ср. также Principii della eguaglianza di poliedn edi poligoni sferici. Milano, Briola 1883.
**) O. S t о 1 z, Monatshefte fiir Math, und Phys., Jahrgang 5,1894.
***) F. S с h u r, Sitzungsberichte der Dorpater Naturf. Ges. 1892.
**»*) Killing, Grundlagen der Geometne, т. 2, гл. 5, § 5, 1898.
144 ГЛ. IV. УЧЕНИЕ О ПЛОЩАДЯХ НА ПЛОСКОСТИ
велики по дополнению; поэтому треугольники ОАА' и ОВВ' также равновелики по дополнению. В таком случае из теоремы 48 получается, что прямые ВА' и АВ’ должны быть параллельны.
Далее, легко убедиться, что многоугольник, целиком лежащий внутри другого многоугольника, всегда имеет меньшую меру площади, чем этот последний, а следовательно, в силу теоремы 51, не может быть равновелик ему по дополнению. Этот факт содержит теорему 52 как частный случай.
Итак, мы обосновали важнейшие предложения из учения о площадях иа плоскости.
Уже Гаусс обратил внимание математиков на аналогичный вопрос по отношению к пространству. Я высказал предположение о невозможности аналогичного обоснования учения об объёмах в пространстве и поставил определённую задачу *) — найти два тетраедра с равными основаниями и равными высотами, которые нельзя никаким способом разложить на конгруентные тетраедры и которые невозможно было бы путём добавления конгруентных тетраедров дополнить до таких многогранников, которые в свою очередь поддавались бы разложению на конгруентные тетраедры.
М. Дэну **) действительно удалось доказать это; таким образом, он строго доказал невозможность обосновать уче-
*) См. мой доклад «Mathematische РгоЫеше» № 3.
**) М. Dehn, «Ueber raumgleiche Poiyeder»,G6ttinger Nachr., 1900; также «Ueber den Rauminhalt», Math. Ann. т. 55, 1902. См. далее Kagan, Math. Ann. т. 57. [Последняя работа содержит простейшее из возможных доказательств; на русском языке см:
В. Ф. К а г а н, «О преобразовании многогранников» — отдельная брошюра, вышедшая в 1913 г. в издательстве «Матезнс» (Одесса) и переизданная в 1933 г. ГТТИ. Прим. ред.\
§ 21. РАВНОВЕЛИКОСТЬ И ' МЕРА ПЛОЩАДИ
145
ние об объёмах в пространстве тем путём, каким это выше сделано для площадей на плоскости.
После этого в целях разработки аналогичных вопросов для пространства были привлечены другие вспомогательные средства, как например, принцип Кавальери *).
В этом направлении учение об объёме в пространстве было обосновано В. Зюсом **). В. Зюс ввёл следующие понятия: два тетраедра с равными высотами и равновелики* ми по дополнению основаниями он назвал равновеликими в смысле Кавальери; два многогранника, которые можно разложить на конечное число попарно равновеликих в смысле Кавальери тетраедров, он назвал равновеликими по разложению в смысле Кавальери; наконец, два многогранника, которые можно представить, как разность двух равновеликих по разложению в смысле Кавальери многогранников, он назвал равновеликими по дополнению в смысле Кавальери. Тот факт, что равенство объёмов и равновеликость по дополнению в смысле Кавальери суть два равносильных понятия, можно . доказать, не пользуясь аксиомами о непрерывности, между тем как равновеликость по разложению в смысле Кавальери двух многогранников,, имеющих равные объёмы, доказывается только с помощью аксиомы Архимеда.