Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
Коэффициент v" в этих равенствах наверно не может равняться нулю, так как в противоположном случае три числа xv х2, х3 были бы равны друг другу. Если
и'х; + v'yt + w'z, + г' = О, их1 -¦(- v”yl -f- w"z, f = О (/= 1, 2, 3)
и"'xj v"'y{ = О
(/=1, 2, 3).
(4)
Уг —Уг —Уь-
Если же и"' ^ 0, то из неравенств
Х\ ^ Х2 Х3
мы заключаем, что
я"*, ^ и’"хг ^ а'"х&, и, далее, в силу равенств (4):
I — .ttt I »/ I Ч*
v Уi +r у2 +г ya-j-r .
166
ГЛ. V. ТЕОРЕМА ДЕЗАРГА
Таким образом,
Следовательно, так как г»"' ф О,
У^Уг^Уг-
В каждом из этих двойных неравенств надо брать либо всюду верхние знаки, либо всюду нижние.
Приведённые соображения убеждают нас в том, что в нашей геометрии выполняются линейные аксиомы порядка II,_3. Остаётся только показать, что в ней имеет место также и плоскостная, аксиома Н4 [68].
Для этой цели положим, что нам даны плоскость (uw.w.r) и лежащая на ней прямая [(я: v :w.r), (и’: v': isi: г')]. Мы полагаем, что все точки (лг, у, г) плоскости (uw.w.r), для которых выражение и'х-|-v’y-j-_|_та'г меньше или больше нуля, лежат по одну или, соответственно, по другую сторону от данной прямой. Теперь нужно доказать, что это определение имеет однозначный смысл и согласуется с определением, указанным иа стр. 63—64. Доказательство этого ие представляет затруднений.
Таким образом, мы убедились, что все аксиомы I, II, IV* выполняются в той пространственной геометрии, которая указанным выше способом возникает из дезарговой числовой системы D.
Так как теорема Дезарга является следствием аксиом I,_8, II, IV*, то мы приходим к следующему заключению:
Для любой дезарговой числовой системы D можно указанным способом построить плоскую геометрию, в которой исчисление отрезков, введённое в соответствии с § 24, приводит как раз к числовой системе D [69] и в которой выполняются аксиомы Ij_3, II, IV*. В такой плоской геометрии всегда справедлива теорема Дезарга.
Это предложение является обращением того вывода, к которому мы пришли в § 28 и который мы можем резюмировать так:
§ 30. ЗНАЧЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ДЕЗАРГА
167
В геометрии на плоскости, в которой кроме аксиом 1,-3, 11, IV* имеет место ещё и теорема Дезарга, можно ввести исчисление отрезков по способу, указанному в § 24; элементы этого исчисления образуют при соответствующих соглашениях об их упорядоченности дезаргову числовую систему.
§ 30. Значение теоремы Дезарга
Если в какой-либо плоской геометрии выполняются аксиомы Ij_3, II, IV* и, кроме того, справедлива теорема Дезарга, то, согласно последним теоремам, в этой геометрии можно ввести исчисление отрезков,, которое подчинялось бы правилам 1—11, 13—16 § 13. Мы рас-
сматриваем, далее, совокупность этих отрезков как комплексную числовую систему и. строим на основании этой системы пространственную геометрию, как это изложено в § 29, в которой выполняются все аксиомы !, II, IV*.
Если мы будем в этой пространственной геометрии рассматривать только точки (х, у, 0) и только прямые, на которых лежат только такие точки, то мы придём к некоторой плоской геометрии. Если же мы обратим внимание на выведенную нами в § 27 теорему 55, то станет ясным, что только что полученная плоская геометрия совпадает с плоской геометрией, заданной нами вначале, т. е. что элементы обеих геометрий можно поставить во взаимно однозначное соответствие, сохранив при этом отношения принадлежности, существующие между элементами, и их порядок [70].
Таким образом, мы получаем следующую теорему, которую следует рассматривать как конечную цель исследований этой главы:
Т е о р е м а 56. Пусть в некоторой плоской геометрии выполняются аксиомы 1^,_3, II, IV*; в таком случае справедливость теоремы Дезарга является необходимым и достаточным условием для того, чтобы эту плоскую геометрию можно было рассматривать как часть пространственной геометрии, в которой выполняются' все аксиомы I, И, IV*.
168
ГЛ. V. ТЕОРЕМА ДЕЗАРГА
Таким образом, теорема Дезарга для плоской геометрии может быть в известном смысле слова названа результатом исключения пространственных аксиом.
Полученные результаты дают нам возможность также доказать, что каждую пространственную геометрию, в которой ^выполняются все аксномы I, II, IV*, можно всегда рассматривать как часть некоторой «геометрии произвольно большого числа измерений»; при этом под многомерной геометрией надо понимать такую совокупность точек, прямых, плоскостей и дальнейших элементов, для которой выполняются соответствующим образом расширенные аксиомы соединения и порядка, а также аксиома параллельности.
Г Л Л В Л ШЕСТАЯ
>1 ..—.я V/ -—1—1' « аЗ
ТЕОРЕМА ПАСКАЛЯ § 31. Две теоремы о доказуемости теоремы Паскаля