Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
§ 26. УМНОЖЕНИЕ В НОВОМ ИСЧИСЛЕНИИ ОТРЕЗКОВ 159
закона сложения можно построить следующим образом: проведём из какой-либо точки прямой ОЕ, например, из точки С, прямую СО, параллельную OD, через точку D — прямую DO, параллельную ОС, и, наконец, через точку О — прямую ОК, параллельную CF.
Итак,
ОК = ас ab;
отсюда, в силу справедливости коммутативного [вз] закона для сложения, следует первый дистрибутивный закон.
Наконец, чтобы доказать второй дистрибутивный закон, положим, что на первой из двух закреплённых прямых даны отрезки [черт. 75]:
1 = ОЕ, а=ОА,
а на второй:
b = ОВ, с = ОС.
Прямые АВ', параллельная ЕВ, и АС', параллельная ЕС, определяют отрезки
OB' = ba, ОС' = са.
Строим на фиксированной прямой ОВ отрезки
OF^=b-\- с, OF' — ba-\-ca,
по обобщённому правилу сложения, следующим образом. Проводим через точку С прямую, параллельную ОЕ, и через точку Е — прямую, параллельную ОС. Эти прямые пересекутся в некоторой точке D, через которую мы проведём прямую, параллельную ЕВ; последняя пересечётся с прямой ОА в упомянутой ранее точке F. Проведём, далее, через точку А прямую, параллельную ОС, и через С —прямую, параллельную ОА. Эти последние пересекутся в некоторой точке О', через которую проводим параллель к АВ'; эта параллель пересечётся с ОА в упомянутой уже точке F'.
I а Черт. 75.
160
ГЛ. V. ТЕОРЕМА ДЕЗАРГА
Из закона умножения отрезков вытекает, что второй дистрибутивный закон будет доказан, если будет показано, что прямые AF и EF параллельны.
В треугольниках ECD и AC'D' соответствующий сто-роны параллельны. Следовательно, три точки О, D, D' лежат, согласно теореме Дезарга, на одной прямой. Поэтому, применив вторую часть теоремы Дезарга к треугольникам EDF и AD'F', мы убедимся, что прямые AF' и EF параллельны.
§ 27. Уравнения прямых в новом исчислении отрезков
С § 24 по § 26 мы вводили исчисление отрезков с помощью установленных в § 24 аксиом, предполагая справедливость теоремы Дезарга для плоскости. В этом исчислении отрезков имеют место установленные в § 13 предложения о соединении, коммутативный закон сложения, ассоциативные законы сложения и умножения, а также два дистрибутивных закона. В том, что коммутативный закон умножения не должен обязательно выполняться, мы убедимся в § 33. В этом параграфе мы хотим показать, каким образом можно дать аналитическое представление точек и прямых, основываясь на этом исчислении отрезков.
Определение. Две фиксированные нами на плоскости прямые, проходящие через точку О, мы будем называть осями X и Y и будем задавать любую точку Р на плоскости посредством отрезков х, у, которые отсекаются на оси X и, соответственно, Y прямыми, проходящими через точку Р параллельно этим осям. Эти отрезки х, у мы будем называть координатами точки Р.
На основании нового исчисления отрезков мы, с помсь щью теоремы Дезарга, приходим к следующему заключению:
Теорема 55. Координаты х, у точек произ-вольной прямой удовлетворяют уравнению между отрезками следующего вида:
ax-\-by-\-c = Q;
в этом уравнении отрезки а, b должны стоять обязательно слева от координат х, у, отрезки а, b одно-
§ 27. УРАВНЕНИЯ ПРЯМЫХ В НОВОМ ИСЧИСЛЕНИИ ОТРЕЗКОВ 161
временно не могут обращаться в нуль, отрезок же с — произвольный.
Обратно: всякое уравнение между отрезками указанного вида представляет прямую в рассматриваемой нами плоской геометрии.
Доказательство. Абсцисса х любой точки Р оси Y или параллельной ей прямой не зависит от положения точки Р на этой прямой, т. е. такая прямая представима в виде уравнения:
х = с.
Отрезку с соответствует отрезок с, такой, что
С ~1- С = О, и тем самым
х с — 0.
Это ураввение имеет требуемый вид.
Пусть, далее, прямая I пересекает ось У в некоторой точке 5 [черт. 76]. Из произвольной точки Р этой прямой проведём параллель к оси К, которая пересекает ось X в точке Q. Отрезок OQ—x служит абсциссой точки Р. Параллель к /, проведённая через точку Q, отсекает на оси У отрезок OR. Согласно определению умножения отрезков,
OR — ах,
где а — отрезок, зависящий от положения прямой 1Ь но не от выбора точки Р на 7. Пусть ордината Р есть у. Из обобщённого определения суммы (стр. 153) и возможности построить сумму, исходя также от оси OY (стр. 155), следует, что отрезок OS есть сумма ах-\-у. Отрезок OS — с определяется только положением прямой I. Из равенства
ах -\-yz=c
И Д. Гильберт
162
ГЛ. V. ТЕОРЕМА ДЕЗАРГА
следует, что
ах —|— у —|— с 0,
где с — снова является отрезком, который определяется равенством с-|-с = 0. Уравнение ах-\-у-\-с = 0 имеет требуемый вид.
Легко убедиться, что координаты точки, не лежащей на прямой /, не удовлетворяют этому уравнению.
Так же легко доказывается вторая часть теоремы 55. Действительно, пусть мы имеем уравнение между отрезками:
