Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
abt ас' Ьс, Ьа, са, сь,
I < '
&Ьу &сч Ре. ®at ?д> Cb‘
Ранее доказанный частный случай нашей теоремы приводит иас к пропорциям:
а.: г — <>ь '• г
ac\r—ac\r ba\r=b'a'.r‘.
b'.r= bc'.r"
На основании дистрибутивного закона мы заключаем отсюда. что
a:r—a':r’, b\r—b'\r'
и, следовательно,
Ь'аг' = Ь'га'.
a'br’ = a'rb’.
Из этих равенств, так как умножение подчиняется коммутативному закону, получается, что
a:b = a'\b'.
Из теоремы 41 легко вывести основную теорему учения о пропорциях, которая гласит:
§ 17. УРАВНЕНИЯ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ 127
Теорема 42. Если две параллельные прямые отсекают на сторонах некоторого угла отрезки соответственно а, b и а', Ь', то имеет место пропорция:
а :b — a':b'.
Обратно, если четыре отрезка а, Ь, а', Ъ’ удовлетворяют этой пропорции, и одна тра отрезков а, а' откладывается на одной стороне угла, а другая пара — Ь, Ь' — на другой, то прямые, соединяющие концы отрезков а, b и концы отрезков а', Ь', пграллельны [49].
§ 17. Уравнения прямых и плоскостей
К рассматривавшейся до сих пор системе отрезков мы присоединим другую такую же систему отрезков. А именно, в силу аксиом порядка на прямой можно различать «яо-ложительное* и сотрицательное» направления. Отрезок АВ, который мы до сих пор обозначали буквой а, мы будем только тогда продолжать обозначать через а, когда точка В лежит с положительной стороны от точки А, в противоположном же случае мы его будем обозначать через —а. Всякую точку мы будем обозначать как отрезок 0. Про отрезок а говорят, что он «положителен», а также что он больше нуля, и обозначают это так: я^>0; про отрезок —а говорят, что он «отрицателен» — меньше нуля, — и обозначают это так: — я<^0.
В этом расширенном исчисления отрезков имеют место все вычислительные правила 1—16 для действительных чисел, перечисленных в § 13. Мы подчеркнём следующие положения:
Всегда
а• 1 = 1 • а = а и я• 0 = 0-я = 0.
Еслн ab — 0, то либо а = 0, либо Ь = 0. Если а~^> b и с>0, то всегда ас~^> Ьс. Далее, если Аи А2, Л3,... , Ап_j, Ап суть п точек на прямой, то сумма отрезков А\А2, А2А3у..., Ап_лАп,АпАл равна 0 [®°].
Возьмём в плоскости а две взаимно перпендикулярные прямые, проходящие через некоторую точку О, примем их
128
ГЛ. III. УЧЕНИЕ О ПРОПОРЦИЯХ
за неподвижные координатные оси и огложим иа этих прямых от точки О произвольные отрезки х, у, затем из концов отрезков х,у восставим перпендикуляры и обозначим их точку пересечения буквой Р [черт. 53]. Отрезки х, у назовём координатами точки Р. Каждая точка плоскости а
однозначно определяется своими координатами х,у, которые могут быть положительными или отрицательными отрезками или 0.
Пусть / — некоторая прямая в плоскости а, проходящая через точку
О и через некоторую точку С с координатами а, Ь. Пусть, далее, х, у суть координаты некоторой точки Р, лежащей на /. Тогда из теоремы 42 мы легко находим
или
а \Ь — х \у Ьх — ау = 0
как уравнение прямой /. Если прямая I' параллельна / и отсекает на оси х отрезок с, то уравнение этой прямой получается из уравнения прямой / путём замены в нём отрезка х отрезком х — с; таким образом, искомое уравнение имеет вид:
bx — by — be — 0.
В силу вышеизложенного мы легко можем заключить, не опираясь при этом на аксиому Архимеда, что каждую прямую на плоскости можно представить с помощью линейного уравнения между координатами х, у, и обратно, что каждое такое линейное уравнение представляет прямую, причём коэффициенты этого уравнения представляют собою отрезки, принадлежащие данной геометрии.
Аналогичные результаты для пространственной геоме-рии получаются так же легко.
§ 17. УРАВНЕНИЯ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ
129
Дальнейшее построение геометрии теперь может быть осуществлено с помощью методов, которые обычно применяют в аналитической геометрии.
До сих пор в настоящей, третьей главе мы нигде не пользовались аксиомой Архимеда; предположив же, что эта аксиома имеет место, можно каждой точке прямой, произвольно взятой в пространстве, сопоставить действительные числа следующим образом.
Возьмём на прямой две произвольные точки и поставим им в соответствие числа 0 и 1; далее, разделим пополам отрезок 01, определённый этими точками, и отнесём найденной середине отрезка число ; далее, середине от-
1 1
резка 0 у отнесём число j и т, д.; после й-кратного применения этого приёма мы придём к точке, которой мы отнесём число ^-.Отложим теперь отрезок 0^ от точки О
т раз подряд как в сторону точки 1, так и в противоположную сторону, и отнесём полученным таким образом
точкам числа — и — . Из аксиомы Архимеда легко
