Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
Аналогичным образом доказывается эта теорема и при других расположениях точек А, В, В} и
A, D, D,, которые могут иметь место.
С помощью теоремы 38 удаётся доказать вторую теорему Лежандра.
Теорема 39 (вторая теорема Лежандра). Если существует хотя бы один треугольник, у которого сумма углов равна двум прямым, то во всяком треугольнике сумма углов равна двум прямым.
Доказательство. Каждому треугольнику ABC, у которого сумма углов равна 2а», можно поставить в соответствие четырёхугольник, у которого три угла прямые, а четвёртый равен w. С этой целью соедивим [прямой] середины D н Е сторон АС и ВС [черт. 37] и опустим из точек А, В а С ва соединяющую прямую перпендикуляры AF, BG и СН. Треугольники AFD и CHD, а также треугольники BGE и СНЕ коигруентны, а потому
AF = BG
и
^FAB-\-ScGBA = 2w,
независимо от того, является ли один из углов ЗС ^ или ЗС В данного треугольника тупым или нет.
Из середины отрезка FG восставим к нему перпендикуляр /К; тогда из второй части теоремы 36 следует, что четырёхугольники AKIF и ВКЮ конгруентны. Таким образом, у каждого из этих четырёхугольников три угла прямые, а четвёртые углы равны, т. е.
ЗС FAB = ЗС GBA,
104 ГЛ. ТТ. НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ И НЕЗАВИСИМОСТЬ АКСИОМ
и тем самым
•ЗС РАВ = w.
Итак, четырёхугольник AKIF поставлен в соответствие данному треугольнику требуемым образом.
Пусть нам дан теперь треугольник Dv у которого сумма углов равна двум прямым, и кроме того ещё какой-то треугольник D2. Мы ставим им в соответствие четырёхугольники У, и V2. Четырёхугольник V, имеет четыре прямых угла, четырёхугольник V2 — три прямых угла. Согласно теореме 38, в четырёхугольнике V2 четвертый угол также должен быть прямым. Таким образом, вторая теорема Лежандра доказана.
§ П. Независимость аксиом конгруентности
Из предложений, касающихся независимости аксиом конгруентности, мы, как особо важное, докажем следующее: аксиома Ш6 не может быть получена путем логических умозаключений из остальных аксиом 1, II, III, _4, IV и V.
Примем точки, прямые и плоскости обыкновенной геометрии за элементы некоторой новой пространственной геометрии и определим откладывание углов так же, как в обыкновенной геометрии, хотя бы как это было изложено в § 9; откладывание же отрезков мы определим иным способом. Пусть точки -4, и А2 в обыкновенной геометрии имеют координаты ул, г, и х2, У2, г2. За длину отрезка АхА2 мы примем положительное значение корня
]/(•*, -хг-\-у,— _у2)г+ (у, — л)*,+ (г, - г2)2 и отрезки АлА2 и А^А^ назовём конгруентными, если они имеют в указанном смысле одинаковую длину.
Непосредственно ясно, что в установленной таким образом геометрии пространства выполняются аксиомы I, II, IHi-г,4» IV, V (и, кроме того, теоремы 14, 15, 16, 19 и 21, которые были доказаны с помощью аксиомы 1Н8).
Чтобы показать, что аксиома И13 в этой геометрии также выполняется, рассмотрим произвольную прямую и выберем на ней три точки AVA2, Аъ так, чтобы точка А2 лежала между точками Л, и At. Пусть точки х, у, г пря-
§11. НЕЗАВИСИМОСТЬ АКСИОМ КОНГРУЕНТНОСТИ
мой а даны уравнениями
* = M4-V,
¦y = V* + W,
г — 'it -f- v',
в которых t является параметром, а V, ft, jx', v, v' означают некоторые определённые постоянные. Пусть ^8 являются значениями параметра, соот-
ветствующими точкам Av А2, А8. Тогда длины отрезков /4,Да» Л2/48, ^Ив выражаются так:
(*, - tt) | /(Х + И)2 + Р-2+^ I -.
(<,-#.)! V(3L+ + +»* I,
(Л —<¦) I + ^ + |t* + v* |,
и, следовательно, сумма длин отрезков AtAt н А2Аг равна длине отрезка AjAt. Таким образом, в данной геометрии имеет место аксиома Ш8.
Аксиома ШБ для треугольников в этой геометрии не всегда выполняется. В качестве примера рассмотрим в плоскости г = 0 следующие четыре точки:
точку О с координатами х = 0, у — О,
» А » » х=\, у = О,
» 8 ) » х = —1,_у = 0,
» С*» > х = О,
У =
V2 ’
Отрезки ОА, ОВ и ОС имеют длину, равную единице. В прямоугольных треугольниках АОС и COS [черт. 38j мы, таким образом, имеем конгруентности:
Зс ДОС=Е $: СОВ,
О А = ОС,
ос=ов.
Однако, вопреки аксиоме Ш8, углы ЗС О АС и $? ОСВ не конгруентны. Вместе с тем, в этом примере не выполняется также и первая теорема о конгруентности, так
8t 1.01
Черт. 38.
106 ГЛ. П. НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ и независимость аксиом
как длина отрезка АС равна у 2— , длина же от-
резка ВС равна |/"2-\-^=. Для равнобедренных треугольников АОС и СОВ не имеет места также и теорема 11.
Примером геометрии на плоскости, в которой выполняются все аксномы, за исключением аксиомы Ш5, служит следующая. Пусть в некоторой плоскости а все понятия, встречающиеся в аксиомах, исключая конгруентности отрезков, определены обычным способом; за длину же отрезка примем длину его проекции (определённой обычным образом) на плоскость [J, образующую с плоскостью а острый угол.
