Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
Если мы в предыдущем изложении поле Q заменим полем всех действительных чисел, то мы получим обычную декартову геометрию на плоскости. В том, что в этой последней кроме аксиом _ а, II, III.. IV и V, выполняется также и аксиома полноты, можно убедиться следующим образом.
В декартовой геометрии из одних только определений порядка и конгруентности отрезков следует, что любой отрезок можно разделить на произвольное число п кон-груентных друг другу отрезков и что если отрезок АВ меньше отрезка АС, то и л-я часть отрезка АВ меньше я-й части отрезка АС.
Положим теперь, что существует прямая g, на которой, вопреки аксиоме полноты, можно добавить ещё точки к построенной нами геометрии, не нарушая при этом на прямой g аксиом Ij_2, II, III, Vj. Пусть одна из добавленных точек будет N. Точка N разбивает прямую g на два луча, каждый из которых, согласно аксиоме Архимеда, содержит также точки, существовавшие до добавления новых точек; эти последние мы будем называть старыми точками. Итак, точка N делит старые точки прямой g на два луча. Положим, что прямая g представлена в пара-
¦*) Относительно вопроса о непротиворечивоств аксиом арифметики смотри мой доклад о понятии числа: «Berichte der Deutschen Mathematiker-Vereinigung», 1900 (вошёл в качестве дополнения VI в эту книгу), а также мой доклад «Математи-ческве проблемы» на интернациональном математическом конгрессе в 1900 г., особенно проблему МЬ 2 (Gottinger Nachrichten, 1900).
§ 9. НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ АКСИОМ
95
метрическом виде:
х = mt -}- л;
У=Р* + 9,
причем параметр t ещё до добавления новых точек принимал уже все действительные значения. Тогда разбиение, производимое точкой N, определяет дедекиндово сечение и в области этих значений параметра. Как известно, для дедекиндова сечения имеет место следующее: или первый из определяемых им классов имеет последний элемент, или второй из определяемых им классов имеет первый элемент. Пусть на прямой g этому элементу соответствует точка А. В таком случае между А и N нет ни одной старой точки.
С другой стороны, существует такая старая точка В, что W лежит между А и В. Далее, в силу аксиомы Архимеда, можно выбрать таким образом некоторое число, скажем, л различных точек N, Съ С2, ..., Сп_ъ D, чтобы п отрезков AN, hCu С,С2, .. ., Ся_2 D были друг другу конгруентны, и чтобы точка В лежала между А и D. Разделим отрезок АВ на л конгруеитных частей. Все точки
v С, с, с„ В D
д ----- . ------->¦¦¦ |-------1—I----1-
N
Черт. 30.
деления будут старыми точками; пусть W будет та из этих точек,, которая лежит ближе остальных к точке А [черт. 30]. В силу одного из упомянутых на предыдущей странице сройств декартовой геометрии, отрезок AW должен быть меньше отрезка AN, так как АВ меньше, чем AD [3®j. Поэтому точка W лежит между А и N Таким образом, предположение, что на прямой g можно добавить точку N, не нарушая при этом линейные аксиомы, привело к противоречию.
Итак, в декартовой геометрии на плоскости все аксиомы 1—V, относящиеся к прямой и плоскости, выполняются.
Соответствующие исследования для геометрии в пространстве не представляют никаких трудностей.
96 ГЛ. II. НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ И НЕЗАВИСИМОСТЬ АКСИОМ
Всякое противоречие в следствиях из аксиом I—V должно, таким образом, иметь место также и в арифметике действительных чисел.
Как видрго, существует бесчисленное множество геометрий, удовлетворяющих аксиомам I—IV, V,, но только в одной геометрии, а именно в геометрии Декарта, выполняется также и аксиома полноты V2.
§ 10. Независимость аксиомы о параллельных (неевклидова геометрия) *)
. После того, как мы убедились в непротиворечивости нашей системы аксиом, интересно исследовать, все ли они независимы друг от друга. В действительности оказывается, что никакие существенные составные части указанных групп аксиом не могут бытЬ выведены путём логических умозаключений из предшествующих групп аксиом.
Прежде всего, что касается отдельных аксиом групп I, II и III, то легко показать, что аксиомы одной и той же группы в существенном не зависят друг от друга.
Аксиомы групп I и II лежат в нашем изложении в основе других аксиом; поэтому мы займёмся только тем, чтобы доказать для каждой из групп аксиом III, IV, V её независимость от остальных.
Аксиома IV о параллельных не зависит от остальных аксиом; это доказывается проще всего хорошо известным способом, а именно в качестве элементов пространственной геометрии принимают те точки, прямые и плоскости обыкновенной, построенной в § 9 (декартовой) геометрии, которые расположены внутри некоторого фиксированного шара, а конгруентности в этой геометрии заменяют такими линейными преобразованиями обыкновенной геоме-
*) Легко показать следующее: в геометрии, в которой выполнены аксиомы I—III и аксиома Архимеда Vj, предложение, содержащее аксиому о параллельных, либо неприменимо ни к одной системе, состоящей из прямой и вне её лежащей точки, либо применимо ко всякой такой системе; см. R. В а 1 d u s, «Nicht-euklid^che Geometries, Berlin, 1927 (Имеется русский перевод: Р. Бальдус, Неевклидова геометрия, М.—Л., ГТТИ, 1933 г.).
