Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
§ 10. НЕЗАВИСИМОСТЬ АКСИОМЫ О ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ 97
трии, которые указанный шар преобразуют самого в себя. При соответствующим образом установленных определениях убеждаются, что в этой <неевклидовой> геометрии выполняются все аксиомы, за исключением евклидовой аксиомы IV. Так как возможность обыкновенной геометрии была доказана в § 9, то отсюда следует также и возможность неевклидовой геометрии [40].
Особый интерес представляют теоремы, справедливость которых не зависит от аксиомы о параллельных, т. е. которые выполняются как в евклидовой, так и в неевклидовой геометрии. Важнейшим примером таких теорем служат обе теоремы Лежандра. Для доказательства первой из этих теорем, кроме аксиом 1, 11 и 111, требуется ещё аксиома Архимеда V,. Рассмотрим раньше несколько вспомогательных предложений.
Теорема 33. Пусть дан прямо- Черт. 31.
угольный треугольник OPZ, у которого угол при вершине Р прямой, и пусть на отрезке PZ выбраны точкц X и Y так, чтобы [черт. 31J
$:xoy~$:yoz.
Тогда
XY<YZ.
Для доказательства отложим на прямой OZ от точки О отрезок ОХ', конгруентный ОХ, т. е.
ОХ=ОХ,
Из теорем 22 и 23 следует, что точка X лежит на отрезке OZ, а на основании теоремы 22 и аксиомы Ш6 получается, что
? X'ZY < ? О YX= OYX < YX'Z.
Соотношение X'ZY<^^C.YX'Z, в силу теорем 12 и 23, привооит нас к доказывае мому утверждению.
7 Д. Гильберт
98 гл. II. НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ И НЕЗАВИСИМОСТЬ АКСИОМ
Теорема 34. Для любых двух углов а и е можно найти такое натуральное число г, что
а /
7<?' '
При этом ^ означает угол, получающийся при помощи
r-кратного деления пополам угла а.
Доказательство. Пусть даны два угла а и г. Из принятых аксиом вытекает выполнимость деления угла
пополам (см. стр. 84). Рассмотрим острый угол у. Если -^-sSs, то утверждение теоремы 34 выполняется при г = 2. Если же 8, то мы из какой-либо точки С, лежащей
на одной из сторон угла опустим на другую сторону
этого же угла [черт. 32] перпендикуляр; который пересечёт эту последнюю в некоторой точке В.
Обозначим вершину угла буквой А. Отложим угол S при стороне АВ внутри угла ВАС = у; свободная сторона построенного угла, в силу предполагаемого неравенства, пересечёт отрезок ВС в некоторой точке D (см. стр. 68). Аксиома Архимеда Vj сводится к утверждению, что существует число л, для которого
п-воувс.
Будем откладывать угол in раз, пристраивая его каждый раз извне к свободной стороне [ранее построенного угла]. Может случиться, что свободная сторона угла, начиная с т-го откладывания [где т меньше или в крайнем случае равно и] не пересекает больше луча ВС. Так как предыдущая свободная сторона ещё пересекает этот луч, то угол (т — 1) s острый. Отсюда- легко получается, что
§ 10. НЕЗАВИСИМОСТЬ АКСИОМЫ О ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ 99
внутренняя часть угла те, полученного в результате /и-крат-ного откладывания, лежит от АВ в той же полуплоскости, что и точка С, и, далее, что луч АС должен лежать внутри угла ms, т. е.
^ а м-е>-2 .
В другом случае каждый угол S при я-кратном откладывании вырезает иа луче ВС отрезок, который, согласно теореме 33, больше или равен BD. Пусть й-я свободная сторона пересекает ВС в точке Е, Сумма BE п отрезков, вырезанных на луче ВС, больше, чем n-BD, и подавно больше ВС. Следовательно,
\ а й-г>т .
Поставим числу т (или, соответственно, числу п) в соответствие число г такое, чтобы т<^2г~1 (соответственно и<^2г-1). Угол те (соответственно и$) обозначим буквой ц.
Углы и ^ можно построить. Из возможности сравнения
величии углов легко получается, с одной стороны, что
из неравенства 2Т~Х m следует неравенство ? = г,
с другой стороны, что из неравенства следует неравенство Тем самым, вследствие транзитивного
свойства сравнения величин (см. стр. 80),
С помощью теоремы 34 можно доказать первую теорему Лежандра.
Теорема 35 (первая теорема -Лежандра). Сумма углов треугольника меньше или равна двум прямым.
Доказательство. Обозначим какой-либо из углов данного треугольника через §;Д = а. Для других его углов, введём обозначения $'В = $ и = у так» чтобы 7*
100 гл. II. НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ И НЕЗАВИСИМОСТЬ АКСИОМ
[черт. 33]. Согласно теореме 26, на отрезке ВС можно найти середину—точку D. Продолжим отрезок AD за точку D до точки Е на длину, равную самому отрезку AD. В силу конгруентности вертикальных углов (стр. 73), к треугольникам ADC и EDB можно применить аксиому Ш6. Установив, на основании теоремы 15, понятие о сумме углов самоочевидным способом, мы получим для углов а', у' треугольника АВЕ соотношения:
а' + у' = а,' Р' = Р + К-
