Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
Найдем предельное распределение величину,, у+ и yj-. Введем функцию
Событие {у7 > у) П {v* > х} происходит тогда и только тогда, когда в промежутке времени [/ — у, t + ж] нет ни одного вос-
которая постоянная. Пусть а„^0, ? ап < 00 • Тогда
tl
tl
оо
(Z = H*z) I akZk (t) < Z (0 < ? akZk (t) + Mh Zak.
I I П+'
Переходя здесь к пределу при оо, получим
оо
оо
M*) = p{y,+ >4
$ 4] ПРОЦЕСС ВОССТАНОВЛЕНИЯ ]77
становления, т. е. когда у+_ > х + у. Поэтому
Р {УГ > У- Y,+ > х} — Vt_y (х + у).
Таким образом, совместное распределение величин у+ и у~ (а следовательно, и распределение величин у+ + у~, у(~) выражается через функцию Vt(x). Заметим, что
со
{Yt+ > х) = (J {ik-i < 0 л (Ей > t + х).
k=>[
Следовательно,
оо
U+l>i + x).
k = 0
При этом
Р (?*<*, I k+l>t + x) =
t
« Мх dk < t) P {т*+1 > / + дс - b 1} = 5 [ I -F (t + ДС - s)] dFk (s)
0
где Fh(s)—функция распределения величины |ь, Fh(s) — = P(lft =?= s)> и F0(s)—распределение, сосредоточенное
oo
в точке 5 = 0. Так как ? Fk (5) = Н (s)t то
6=0
t
Vt{x) = \{l-F{t + x-s))dH{s). (15)
о
Теорема 4. Если величины т& имеют нерешетчатое распределение и Мтй <; оо, го
оо
»тМ*) = -пl-\[l-F(s + x)]ds. (16)
<-> оо ‘"М J
Доказательство теоремы непосредственно вытекает из соотношения (13), если положить z(t) = 1 — F(t + х), s0 и заметить, что так как z(t) удовлетворяет условию А замечания к теореме 3, то формула (13) к ней применима. ¦
Аналогично в решетчатом случае получим следующее утверждение.
Теорема 5. Если тh имеют решетчатое распределение, vt (k) = Р (у; = k), p(k) = P (т, = k),
то
со
!im М?) =-м^г-У Р (& + /). (17)
(->00 ^
178
СЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
[ГЛ. III
Рассмотрим теперь совместное распределение величин УГ и v*+- Имеем
оо
{УГ = /} п {y,+ = Щ = ио{|п = t - /} п (|п+1 = t + k) =
оо
== U {^п—t —• л п {^„+1 = & + /}.
п=0
оо
Поэтому Р {vr = /, vi- = ^} = 2 Pt-i (п) Р № + })• На основании
> П = 1
теоремы 2 получаем
l'!ZL ^ = й} = жг/,(н/}•
Отсюда также следует, что
limP{Y* = /} = ^. (18)
оо тТ'
В формуле (18) отражается парадокс теории восстановления: вообще говоря, Р (yt = 1)Ф р(1).
§ 5. Цепи Маркова
Общее понятие процесса Маркова в широком смысле было введено в § 4 гл. I. В настоящем параграфе рассматриваются цепи Маркова — процессы Маркова с дискретным временем. Речь идет о стохастической системе, состояния которой описываются точками некоторого измеримого пространства {X,- SS}, называемого фазовым пространством системы. Система может менять свои состояния в момент времени t= 1, 2, ... Вероятностью перехода р(т'пЦх, В) называют условную вероятность системе, находящейся в момент времени т в состоянии х е X, оказаться в момент времени п > т в одном из состояний множества В, В е S3. Предполагается, что р(т’пЦх, В) при фиксированном х является мерой на S3, p(m’n>(,v, X) — 1, а при фиксированном В — S-измеримой функцией от х. Основное предположение о характере теоретико-вероятностной эволюции рассматриваемой системы — это отсутствие последействия. Формально это выражается в требовании, чтобы вероятность перехода удовлетворяла уравнению Колмогорова — Чепмена:
Р<г’ ») (х, В) = J Р<™. ») (у, В) Р<'- "*> (х, dy), 1<т<п, х
для всех 0 < I < т < п, х е X, В е S3.
В случае дискретного времени уравнение Колмогорова — Чепмена показывает, что вероятности перехода p(m’n)(jc, В)
ЦЕПИ МАРКОВА
179
индуктивно определяются через вероятности перехода за один апаг Р„ (х, В) = Р<п- п+‘)(а:, В). При этом
Def
р(т, п+1) (JC> Щ — ^ рп В) р(т, п) Дуу X
Покажем, что для любого измеримого пространства {X, 0}, нормированной меры т на 0 и последовательности стохастических ядер Рп(х, В), п — 0, 1, можно построить цепь Маркова, для которой вероятности перехода за один шаг равны Рп{х, В), а начальное распределение состояния цепи задается мерой т.
