Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
Для этого рассмотрим задачу о построении с помощью данных стохастических ядер меры в произведении пространств.
Пусть К — некоторый класс действительных функций. Напомним, что К называется конусом, если одновременно с парой функций / и g из К ему принадлежат и все функции вида ,а/ + bg, где а и b — неотрицательные числа. Класс К называют монотонным, если из того, что /„ е К, /„ ^ /„+ь ti = 1,2,..., вытекает lim /„ е К.
Лемма 1. Пусть SDI — полукольцо множеств из X, 9( — <о-алгебра, порожденная $?, К — некоторый класс функций, определенных на X, обладающий следующими свойствами:
а) он является конусом и монотонным классом-,
б) из 0 /i ^ /2 вытекает /2 — /1 е /С;
в) 1 е К;
г) он содержит индикаторы множеств из Ш.
Тогда К содержит все неотрицательные 9(-измеримые функции.
Доказательство. Пусть S обозначает класс всех подмножеств X, индикаторы которых входят в К. Тогда: a) X^S;
б) если Ле^, В е S и А а В, то В\А е S и Х\А е S;
в) если Лей' и Ве^, то и Л U В е S’. Таким
•образом, S является алгеброй множеств. Из монотонности класса К вытекает, что S— а-алгебра. Итак, К содержит индикаторы всех 91-измеримых множеств. Поэтому К содержит все простые ^-измеримые функции и пределы монотонно неубывающих последовательностей простых функций, т. е. все неотрицательные ^-измеримые функции. ¦
Лемма 2. Пусть f(x, у)— неотрицательная а {91 X Щ-измеримая функция и р (•, •)— стохастическое ядро на {X, 0}. Тогда функция
'?(*)=$ fix, у) Р (х, dy)
X
Я-измерима.
Доказательство. При фиксированном х функция f(x, •) S-измерима, так что интеграл в правой части равенства имеет
180 СЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. III
смысл. Класс К неотрицательных функций f(x, • ), для которых лемма верна, является конусом и, в силу теоремы Лебега, монотонным. Кроме того, К содержит разность двух своих элементов и f(x, у) = 1 е К. Так как он содержит индикаторы множества вида А X В, где А е 91, Ь е S3, то он содержит все неотрицательные ст{9t X 0} -измеримые функции. ,¦
Следующие предположения можно рассматривать как обобщение известной теоремы Фубини.
Теорема 1. Пусть (X, 91}, {У, §9}, {Z, 6} — измеримые пространства, Qi(x, В), Q2(у, С)—стохастические ядра на {X §9}, {УД} соответственно. Существует, и притом единственное, стохастическое ядро Q3(x, D) на {X, сг{5ЭХ®}} такое, что
а3 (х, в хс) = \ а, (х, dy) а2 (у, с). 0)
в
При этом для произвольной неотрицательной сг {S3 X &}-измеримой функции f(y, z) имеем
jj f (у, z) Q3 (x, dy X dz) = ^ A f (y, z) Q2 (y, dzA Q, (x, dy). (2)
YXZ У Vz )
Для доказательства первой части теоремы достаточно показать, что формула (1) определяет на полукольце прямоугольников в Y X Z полуаддитивную предмеру. Пусть Dt — Вх X Си
D2 = В2Х С2 и Д> с; DТогда В2 с: Ви С2 cz Сх и Dx = D2 U
[]D'[]D", где ZT = В2Х(С,\С2), D" = (В\\В2) X С и
Множества D2, D', D" попарно без общих точек. Если применить формулу (1) последовательно к множествам D2, D' и D", то получим
а3 (X, А) + Q3 (*, D') + Q3 (х, D") =
= ^ Q, (х, dy) Q2 (у, С2) + ^ Q, (л:, dy) Q2 (t/,, С, \ С2) +
Bi В2
+ jj Q, (х, dy) Q2 (у, С) = jj Q, (x, dy) Q2 (у, C) = Q3 (y, Z),).
Таким образом, функция Q3(jk, D) аддитивна на рассматриваемых специальных разбиениях множества D. В частности, если Z)3 = Z), U D2, где D{ — прямоугольники и Dxr\D2 — 0, то
Q3(x, D^+Q^x, D2)= Q3(x, D3) и Q3 (x, YXZ)= 1.
Аддитивность функции Оз(лг, *)на полукольце всех прямоугольников в общем случае нетрудно получить по индукции.
$ Б) ПЕПИ МАРКОВА ]gf
п
Пусть D= [J Аь гДе Въ, — прямоугольники попарно без об-б-i
п—\
щих точек. Тогда D \ Dn = D' U D" = (J Dk, где D' и D" опре-
деляются только что использованными формулами. Как уже доказано,
Оз (х, D) = Q3 (л:, Dn) + Q3 (л:, D') + Q3 (*, D"). Используя предположение индукции, получаем
Q3 (х, D') = Q3 (л:, D' Л (]]' ?>*)) = I Оз (х, D' Л Dk) и аналогичное выражение для Q3(x, D"). Таким образом,
Q3 (х, D) = Q3 (л:, Dn) + Z [Оз (х, D' Л Dk) + Q3 (л:, D" Л Dk)].
k=\
Так как D' и D” — прямоугольники без общих точек, в сумме покрывающие Dh, то D' Л Dh и D" П Dh — также прямоугольники и (D' Г) Dh) U (D" Л Dh) = Dh. Поэтому Q3 (х, D' Л Dk) -f-Н" Qs(JC. D” Л Dh) = Q3(x, Dh) и, следовательно,
Q3 (x, D) = Z Q3 (x, Dk). k-i
Таким образом, аддитивность Q3(x, •) доказана. Докажем те-
00
перь свойство полуаддитивности для Q3(x, •)• Пусть A)S(J D*’
