Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
X f (^0.........hp) g* (h>.......iip)dk0 ... dkp dn0 ... dn.
ПРОЦЕСС ВОССТАНОВЛЕНИЯ
163
Если lim = 0, то, переходя в написанном соотношении к пре
Так как класс функций fug, для которых доказано последнее соотношение, всюду плотен в j?2, то соотношение (23) имеет место для произвольных f и g из i?2.
Таким образом, доказан следующий результат.
Теорема 5. Стационарная гауссова последовательность, коэффициент корреляции которой * 0 при п —> оо, удовлетворяет условию перемешивания.
В общих чертах процесс восстановления может быть описан следующим образом. Рассматривается работающий прибор, который время от времени выходит из строя (отказывает). В момент отказа прибор немедленно заменяется новым. Будем считать, что продолжительность исправной работы п-то прибора т„ является случайной величиной, причем все величины т„, п = = 1, 2, ..., независимы и одинаково распределены. Моменты времени, когда один из приборов выходит из строя, называют моментами восстановления. При этом считают, что 0 является моментом восстановления. Положим
|п = т1 + т2+ ... + т„, п =1,2,..., ?0 = 0.
Величина является моментом п-то восстановления, а всего промежуток времени [0, |„] имеет п 4- 1 восстановление (считая восстановление в момент времени 0).
Пусть F(x) = Р{т„ ^ х} (в настоящем параграфе удобней пользоваться таким определением функции распределения случайной величины вместо обычного F (х) = Р{т„ < х}). Тогда F(x)=0 при х < 0, F(0)^0. Будем считать, что F{0)<1. Тогда Мт„ > 0.
Лемма 1. С вероятностью 1 %п —* оо при п —> оо.
Действительно, Р (S„ с) = Р . Используя не-
равенство Чебышева, получим
делу при п—* оо, получим
lim Mf (?я, Src+i, • • • > %п+р) $(So, Si, • • •» \р)
= SP)M (So, Si, .... Sp). (23)
§ 4. Процесс восстановления
Р (|„ < с)< ecqn, где q=Ue~%n.
(1)
Таким образом, P(lim Sn с) = lim P(g„ < с) = 0. В
164 СЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. III
Из леммы 1 следует, что для любого t ^ 0 найдется такое •v = v(t), что |v-i ^ t < |v. Величину v(0 называем числом восстановлений на промежутке времени [0, t]. Так как {v(/) =
— «} = (in—I sS OMSn ^ 0. T0
p {v (0 = n) = P </}-P{g„< /}.
При этом In — сумма n независимых одинаково распределенных величин. Следовательно, Р(?п ^ 0 = F*(n){t), где F*ln>(t) — л-кратная свертка функции распределения F(x):
оо t
F*(п>(t) — J F*in~l)(t-s)dF(s)=^F*{ri~n(t-s)dF(s),
— оо 0
причем F*(n')(t)= 0 при t •< 0, F*l°)(t) = I (t) (/(/)= 1 при
/ 0 и / (0 = 0 при / < 0), F*!1) = F.
Положим
H(t) = Mv(t), 0, Я(/) = 0 при t < 0.
¦функция H(t) играет в дальнейшем важную роль. Ее называют функцией восстановления. Она монотонно не убывает и непрерывна справа. Покажем, что она конечна W ^ 0. Пусть %n{t) — индикатор события {?„ ^ 0- Тогда
оо оо
tf(0 = Mv(0 = M =
n—0 я=0
Таким образом,
Я(/) = Х)^(">(0, (2)
п=0
и в силу неравенства (1) ряд в правой части равенства сходится
равномерно в любом конечном отрезке t е [0, Т). Из равномер-
оо / оо \
ной сходимости ряда (2) следует Y,F*<'n) {t)=F*\ ? F*(rt-I) J(f) =
n=1 \n=l /
— F*H(t), где F * G обозначает свертку двух функций F и G, обращающихся в 0 для отрицательных значений аргумента:
оо X
f*G(x)= J G(x — s)dF(s) = J G(x — s)dF(s).
— oo 0
Следовательно, функция H(t) является решением уравнения
t
H(i) = I(t)+^H(t-s)dF(s). (3)
5 4] ПРОЦЕСС ВОССТАНОВЛЕНИЯ 165
Более того, если z(t)—произвольная измеримая ограничен-
t
яая функция на каждом компакте [О, T],Z (0 = ^ z(t — s)dH(s) =
о
= H + z (0, то
t
Z(t) = z{t)-\- \z(t — s) dF (s), t>0. (4)
о
t
При этом следует иметь в виду, что под интегралом ^ f dF мы
о
в настоящем параграфе будем понимать интеграл по замкнутому отрезку [0, ?] и в нем нужно учитывать значение меры, порождаемой функцией F, сосредоточенной в точках 0 и t. Уравнение (4) называют уравнением восстановления. Оно имеет решение для любой измеримой локально ограниченной функции z(t) (т. е. ограниченной на всех конечных отрезках). Нетрудно убедиться, что в классе локально ограниченных функций решение уравнения (4) единственно.
