Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
— Н(t — Л)^Я(2Л). Очевидно, что функция Z(t) непрерывна. Таким образом, она является единственным решением уравнения (4). Рассмотрим семейство {#(s + 0—H(s), s 75s 0} моно-
174
СЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
[ГЛ. III
тонно неубывающих функций аргумента t. Из равномерной ограниченности этого семейства (Я (s + t)—H(s)^.H(t)) на произвольных отрезках —А, А] вытекает, что из любой последовательности значений s можно выбрать подпоследовательность sh —*¦ оо такую, что Я (sh + t)—H(sh) сходятся на всюду плотном множестве значений t к некоторому пределу v(t). Но тогда
оо оо
Z(sk + t) = J z(t-s)dH(sk + s)-> J z{t-s)dv{s), (12)
— оо — оо
так как z(t) отлична от нуля только на конечном интервале.
оо
Положим 0(0= ^ z{t — s)dv(s). Перейдем в равенстве
—-оо
оо
Z (sh + t) — z (sk + t) + ^ Z (sh +1 — s) dF (s)
0
к пределу при sft—>oo. Учитывая, что lim z(sft -f- t) = 0, получим
oo
6(0 = \ Q(t-s)dF{s).
о
В силу леммы 8 0(^)= const. Таким образом, для любой непрерывной функции z(t) (z(t) = 0 при |<|>Л для некоторого
Л) функция 0 (t) = ^ z(t — s)dv (s) не зависит от t. С помощью
о
предельного перехода получаем, что v(t2)—v(ti) зависит только от разности t2— t\. Положим u(^-f-s)—v(s)=h(t). Тогда h{t\ t2) —v (ti -f- t2 + s) — v (t{ -f- s) -f- v(t\ -f- s) — v (s) =h (^2)+ 1). Функция h(t) монотонно не убывает, поэтому решения уравнения h(t\ + t2) = h(t2) + h(ti) [tx, t2~> 0) имеют вид h(t)= at. Мы получили, что t»(< + s)—v(t)= as. Таким образом,
оо
Z (sk + t) -> a ^ z(t — s) ds.
— 00
При этом константа а не зависит от выбора последовательности sft, ни от функции z(t). Так как в последнем соотношении Su — подпоследовательность любой последовательности чисел ,s'-*-oo, то мы видим, что предел Z(t) при t—* оо существует и
ПРОЦЕСС ВОССТАНОВЛЕНИЯ
175
С другой стороны, из предыдущих соображений вытекает, что lim [H(s + t)-H (0] = as (14)
t->oо
для счетного всюду плотного множества значений s. Из непрерывности правой части равенства (14) следует, что равенство (14) выполняется для всех значений s. Напомним, что (13) доказано для всех непрерывных функций z(t), отличных от О на конечном отрезке, а равенство (14) можно рассматривать как частный случай (13) при z(s), равном индикатору полуинтервала (t, t -f- s]. Отсюда вытекает, что равенство (13) имеет место, например, для функции z(t)= 1 — F(t) при t ^ 0, z(t) — О при t < 0, если
оо
т = ^ (1 — F (t)) dt = Mt! < оо.
о
t
В этом случае Z (t) — Н * z (t) = ^ (1 — F (t — s)) dH{s) — 1 и ра-
о
венство (13) дает 1 = am, а — 1/т. Тем самым, для случая т с со теорема доказана. Пусть теперь пг — со. Тогда
С
1 = J(i _ F(t — s))dH(s)>l\m J [\ - F (s)} dH {t - s).
0
При t —> со получим для любого с > 0
1><х J(1 —F(s)) ds.
о
Но интеграл справа стремится к оо при с —* оо. Следовательно, a = 0. В
Замечание. При доказательстве теоремы формула (13) была применена к функции z(t)= 1—F(t), t ^ 0, в то время как непосредственно она была доказана для непрерывных функций, равных 0 вне некоторого компакта. Введем следующее условие.
Пусть h > 0 и с»п, сп обозначают минимум и максимум функции z(t) на интервале (п— 1 )h ^ х ^ nh.
Условие А: ряды a, = h X с,п, о* = /г X с*п сходятся абсолютно и о* — о» —* 0 при h —* 0.
Нетрудно проверить, что если функция z(t) удовлетворяет условию А, то к ней применима формула (13). Покажем это. Пусть сначала функция z(t) ступенчатая, z (t) — X anzn {t), zn(0=l при h(n—1 )^.t<chn и zn(t)= 0 при других зна-
176
СЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
[ГЛ. III
чениях i, Zn = H*zn. В силу (14) Zn(/) = H(t—(п — 1)Л) —
— Н (t — nh)-+ah, причем Zn{t)-^Mh для всех п, где Mh — не-
Пусть теперь z(t) — произвольная функция, удовлетворяющая условию А. Применяя полученный выше результат к ступенчатым функциям X c,nzn (() и X °nZn получим, что все предельные точки Z(t) (при t—*¦ оо) лежат между аст* и а а*. Поэтому (13) верно для любых z(t), удовлетворяющих условию А. Очевидно, что z(t)= 1—F(t), t~^ 0, удовлетворяет условию А, если т = Мт[ < оо. в
Введем теперь еще две важные характеристики процесса восстановления. Если ?ft_i ^ / <С I*, то положим
Процессы yf, yj кусочно линейны. Процесс у+ убывает на каждом промежутке времени [?л-ь Ы от хк до 0, а у^ — возрастает от 0 до Tfc. Величина у+ показывает, сколько еще времени будет работать прибор, если он работает в момент времени /, а у“ — сколько он уже проработал. В некоторых вопросах представляет интерес величина Y< = v/' + Yf, равная общей продолжительности работы прибора, работающего в момент времени t. Так как величина yt совпадает с одной из величин Тл, то может показаться, что распределение величины yt совпадает с распределением величины т*. На самом деле это не так. Дело в том, что yt совпадает с величиной т*, взятой в случайный момент времени fe = v(/)+l, v(0 —Tv(o+i, где v (/)—число восстановлений в момент времени t. Поэтому распределение yt может не совпадать с распределением т*. Это обстоятельство известно под названием парадокса теории восстановления.
