Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
1
оо
Dk = BkXCk, k = 0,1,... Тогда %d0 (У> «X Z XDk(y> z)- Так
л-i в
как xDk(y, г) = Хвк(у)Хск(г), то
оо
Хв0 (у) Хс0 (z) < Z Хвк (У) Xck (z).
Интегрируя обе части этого неравенства по мере Qi(y, •) по пространству Z, получим
оо
Хво (у) Q2 (у, Со) < z Хвк (у) 02 (у, Ск).
Еще раз интегрируя полученное соотношение по мере Qi(x, •), придем к неравенству
182 СЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. III
доказывающему, что Оз(х, Dh) счетно полуаддитивна. Отсюда вытекает, что Оз(х, В X С) допускает единственное продолжение на сг{§ЭХ@}- Чтобы доказать формулу (2), заметим прежде всего, что в силу леммы 2 внутренний интеграл в правой части равенства (2) является ©-измеримой функцией, так что двукратный интеграл в правой части формулы (2) имеет смысл. Далее, класс функций / (/^0), для которых формула (2) верна, удовлетворяет условиям а)—в) леммы 1. Кроме того, в силу формулы (1) он содержит индикаторы прямоугольников. Поэтому он содержит все сг{§9 X ©}-измеримые неотрицательные функции. ¦
Точно так же доказывается следующая
Теорема 2. Пусть {X, Я}, {Уь SQi}, ..., {У<„ S3s}—измеримые пространства и Q! (х, ВО)), Q2 (Уи ДО).......Qs (ys-и BW) -
стохастические ядра, г/й. е Уй, (k = 1, ..., s). Суще-
ствует единственное стохастическое ядро Q(l’s)(x,D) на {^,35}, где S) = 0{§9i X 8Эг X ... X S3s}, такое, что
Я<»Х ... XB(S))= \ Qi (х, dy,) \ Q2(yu dy2) ... в<1> в<2>
... ^ Qs (ys-ь B<s>)Qs-t (ys-2, dys-i). (3)
При этом для произвольной неотрицательной S)-измеримой функции / (г/ь г/г, , ys)
^ f (Уи • • • > Уз) Q°’s) (х, dyiX ... X dys) = у,х... xys
Qj (х, dyx) • • • J f (уи У,) О# (ih-i, dy,). (4)
Замечание. Формулы (2) и (4) доказаны для неотрицательных функций. Но они, разумеется, верны для произвольных f, если только одна из функций f+ или f~ интегрируема. Аналогичное обстоятельство будет иметь место и в других теоремах, в которых ради краткости упоминаются только неотрицательные функции.
Ядро Qt1-8) называют прямым произведением ядер Qi, Q2,...
— , Qs и пишут QC' «> = Qi х Q2 X • • • X Qs-
Если в (3) положить В(1>=Уь ..., Б<в_1> = У8_ь то получаем новое вероятностное ядро в {X, S3s}:
Q*(1 a) (х, B(s)) = Q(1’s) (х, У, X У2 X ... X У.-1 X B(s)). (5)
§ В] ЦЕПИ МАРКОВА 183:
Его называют сверткой ядер Qi, Q2, ¦¦¦, Qs и пишут Q*(l’s) = Q, * Q2 * ... * Qs.
Применим формулу (4) к функции f(yi,y2, •••, г/s) = /(г/s) = = %b(s) (У{в)) и сопоставим ее с (5). Получим
$ f ЫQ(I’s)(*, dyiXdy2X ... X dys) =
У, X У2 X • • • X Y$
= \f(ys) Q.'"’s)(x, dys). (6).
Так как класс неотрицательных функций, для которых формула (6) имеет место, удовлетворяет условиям леммы 1, то (6) имеет место для произвольной неотрицательной 08-измеримой функции. Отсюда в свою очередь вытекает, что для произвольной неотрицательной a{23mi X 33m2 X ••• X %mr X ^-измеримой функции г-f 1 переменных / (г/m,, Ут2, ¦•¦,Утг, У^(Ут^Ут,
О ^ mi < т2 < ... <mr<s) имеем
^ f (Ут!> Ут21 • • ' > Утг1 Уз) X
У,ХУ2Х... XYS_,XYS
X Q0, s) (X, dyx х dy2 X ¦ • • X dys) =
= »¦>(*, dyai) J Q dym2)...
Ут> ^m2
•. , S f (ymi, ymr, ys) Q* {m'+u s) {ymr, dy,). (7)
Частным случаем формулы (7) является соотношение Q* (1- s> = Q* (>’ mi) * Q* (mi + 1- m2) * ... * Q* (mr+1’ s),
означающее, что операция свертки ядер является ассоциативной.
Рассмотрим бесконечные произведения стохастических ядер. Пусть {Хп, Я9„}, п = 0, 1,2, ..., — бесконечная последовательность измеримых пространств и Рп(-, •)> п = 0,1, ..., — последовательность стохастических ядер, определенных на {Хп, S5n+i}. В соответствии с теоремой 2 построим прямые произведения ядер
Р<°’"> = РоХР,Х ... ХР„,
р(0, „> = р<0, „) (А.0) D)y Хое= D е ®я+1,
ГДе <?„ — минимальная а-алгебра, содержащая прямоугольники'
Bi хв2х ... хвп (Bft.sek), e„ = 0{»ixe2x xs»}.
184
СЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
[ГЛ. Ill
Введем пространство = элементами которого слу-
п-1
жат бесконечные последовательности ю = (хь*2, хп, ...), хп е Хп Через 6° обозначим алгебру цилиндрических множеств X00. Определим на ®° семейство функций множеств Р(х,), зависящих от параметра х0 (х0^Х0) следующим образом: если С — цилиндрическое множество,
С = {(о: (xh хп, ...)eD}, De6„,
то полагаем
р<*„)(С) = р<о, *)(*0i D).
