Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство. Так как предел limG(n) = A существует
П-» ОО
в силу предыдущей леммы, то, используя теорему Абеля о степенных рядах, получим
А = lim (1 + 2 zn [G (п) — G (п — 1)]! ==
г +1 \ 1 /
ОО
= lim Yi *п (1 — 2) G (n) — lim (1 — z) Ф (2),
1 n<= 0 z^l
OO
где Ф (2) = 2 znG{ri) — производящая функция последовательно
ности {G(n),n = 0, 1, ...}. Из независимости и равнораспределенности величин тл следует, что G(n) удовлетворяет уравнению
П
G (п) — 6 (ft) + Z G (п — k) pk, п > 0 (9)
fc»i
(6(п)=0 при п > 0, 6(0)= 1). Умножая это соотношение на 2™ и суммируя по всем п ^ 0, получим
Ф(2) = 1+^(2)Ф(2), |2|<1,
ОО
где /7(2)= 2 Рп2"- Таким образом,
Ф(2) = [1-^(2)]-1
И
172 СЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. ПГ
Если т — оо, то для любого N > О
Пт --751Z) > Ит J] рп = J] p„rt,
«¦> 1 ^ *¦* ^=1 гг=1
откуда следует, что h = 0. Если же m < оо, то, учитывая не-
I 1 — гп
равенство -j------- <п при z|< 1, получим
Следствие. Если восстановление имеет период й, то
lim G (nd) = m = (10)
Л->со Ш
Действительно, если данное восстановление периодично и d — его период, то новое восстановление, в котором длительность восстановления т'является апериодичным. Если G'(n)—его функция восстановления, то G'(n)= G(nd). С другой стороны, Мх' = — -^г. Из доказанной теоремы теперь
следует (10). ¦
Рассмотрим функцию восстановления в нерешетчатом случае. Исследование будет основано на уравнении, восстановления (4). Нам понадобятся следующие леммы.
Лемма 7. Пусть gi, g2, ... — одинаково распределенные независимые случайные величины, ?n =/п(|ь gn), где
fn(xi, хп)—симметрическая функция своих аргумент»
(f(xu xn)—f(xii....... xift) для любой перестановки
(ii, ..., in) индексов (1,2, ..., п)). Если ?= P. lim то величина I не зависит от случая.
Доказате льство. Можно предположить, что | fn | ^ ! (если бы это было не так, то можно было бы заменить
2 2 \ величины ^ и величинами — arctg?, — arctg?„J. Тогда
М|?2„ —?„Р-*0. Но величина ?2л —имеет то же распределение, что и 12п — ?;, где Va = f„(ln+l, .... g2„). Поэтому lim M(?2n — Q2 = 0 и, как следствие, ПтМ(? — ?')2 = 0. И»
П-+оо П-^оо
независимости величин и ?' вытекает М (?„ — ?')2 = = (Щп — М?')2 + D?„ + D?' ->• 0. Отсюда следует D? =
— Hm D?„ = 0. ¦
ПРОЦЕСС ВОССТАНОВЛЕНИЯ
173
Лемма 8. Если функция 0(0 непрерывна, ограничена и удовлетворяет уравнению
оо
0(/)= \Q(t-s)dF(s), (11)
о
ТО 0(0 = const.
Доказательство. Уравнение (11) можно записать в виде 0(0= М0(/ — г*). Пусть — а-алгебра, порожденная случайными величинами ть т„. Тогда М {0 (/ — ?„) IS„-i}= = М {0(/ -- т„) !&,_,} = М6(* - у - т„) 1^^, = 0 (* -Следовательно, последовательность 0(/ — |„) является ограниченным мартингалом. Поэтому с вероятностью 1 и в S’] существует предел lim 0 (/—1„) = 0 (/)• Так как 0(0 является преде-
ОО
лом симметрических функций от одинаково распределенных случайных величин, то 0(0 не зависит от случая (лемма 7). Поэтому 0(0= lim М0 (/ — ?„) = 0(0- Итак, 0 (/) = lim 0 (/ — g„) для
Я-* ОО
любого t. Так как lim 0(/ — g„) = lim0(/— t! — (т2 + ... + т„)) =
Л-^оо
= 0(/ —Tj), то 0(0= 0(* — Ti) с вероятностью 1. Из непрерывности функции 0(0 следует, что Р ^sup| 0 (/ — &) — 0(/) | > 0^=
= 0. Таким образом, можно найти такое множество А (Лс±(—оо, оо)), что 0(0 = 0(t — *) для всех /е(—оо, оо) и всех х ее А. Так как распределение величины Т] нерешетчато, то в Л содержатся либо две несоизмеримые точки, либо пары точек со сколь угодно малым расстоянием. Следовательно, непрерывная функция 0(0 либо имеет два несоизмеримых периода, либо обладает сколь угодно малыми периодами. В обоих случаях оно константа. ¦
Следующая теорема носит название основной теоремы теории восстановления.
Теорема 3. Если распределение величин тй нерешетчато, то для любого с > 0
lim [Н (t + с) — Н (/)] = с/m, т = МтА
<-*оо
(при т — оо полагаем с/т = 0).
Доказательство. Пусть z(t)—непрерывная функция, равная 0 вне некоторого отрезка, и Z(t) = H*z(t). Функция Z(t) ограничена. Действительно, если z(t)=0 при \t\^ А и |z(0|<C, то |Z(0 |< C[H(t + A)— H(t — А)]. С другой стороны, в силу полу аддитивности функции Н (t) #(/ + Л)—
