Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
Р (t, х, s, В) =
= ^ р (*. dyx) ^ Р (Уь йУ*) • • • \ Р (У*-и В) Р (ys-2. dys-,) =
XX X
= pis-»(x, В).
Для однородной цепи уравнение Чепмена — Колмогорова принимает следующий вид:
P<s+m>U, В)= J Pi*> (je, dy) P(m> (у, В),
х
Пусть марковская цепь однородна. Формула (10) показывает, что
MJ(l(s+l), t(s + 2)........s(s + n)) =
— Мт-/(g(l), g(2), .... Ш), (12)
где
ms (В) = ^ Р (0, х, s, В) т (dx) = ^ P<s> (jc, В) т (dx).
Если величина (12) не зависит от s, какова бы ни была функция
/(•), то однородный марковский процесс, соответствующий заданному начальному распределению т, называется стационарным. Для стационарности процесса необходимо и достаточно, чтобы мера m удовлетворяла условию
m (В) — ^ P(s) (х, В) m (dx). (13)
Это условие эквивалентно более простому:
m(B) = ^P(x, B)m(dx). (14)
Действительно, (14) является частным случаем (13). Если же ,.(14) выполнено, то
«(В)=$Р(*, Д)$Р(у, dx) т (dy) =
= \ Р<2> (у, В) т(dy) = ... = J РО (у„ B)m(dys).
190
СЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
[ГЛ. ИГ
Вероятностные меры т, удовлетворяющие уравнению (14), называются инвариантными или, подробнее, инвариантными мерами, соответствующими данному стохастическому ядру.
Таким образом, если для данного стохастического ядра существует инвариантная вероятностная мера, то существует такое начальное распределение для однородной цепи Маркова, которому соответствует стационарный марковский процесс. Вероятностью перехода за один шаг этого процесса служит данное ядро.
Пусть обозначает минимальную а-алгебру, относительно которой измеримы ?(0), Е0)> •••> КО (^ = 0,1,2, ...), т — марковский момент на {§/, t = Q, 1, ...}, принимающий, возможно, значение т == оо.
Рассмотрим следующий вопрос. Пусть g(0— однородная марковская цепь. Как ведет себя процесс lx(t) — %(t-с) при т < оо? Естественно ожидать, что при гипотезе |(т) = х, т <С оо, случайный процесс gt (0 ведет себя точно так же, как марковский процесс |(0 при гипотезе g(0) = x. Уточним и докажем это утверждение. Выраженное им свойство называется строгой марковостью. Обозначим Qt = {со: т < оо}. Положим р№(х, Л) = = P<*){Qt П (^(т)еЛ)}. Имеем
Р(т) (х, Л) = Z Р« {[т = s] П К (s) е Л]}.
5=1
Отсюда вытекает, что Р^(х, А) является мерой на 0 и
p<t>(*, Z) = P<v'){Qt}<l.
С другой стороны, существует такое множество BW е что событие {т =. s} эквивалентно событию {g (0), g (1), ..., g(s)} е BW. Следовательно,
Р(*){[т = 5]П[|(5)еЛ]} = Р^){(6(0), g(l), .... Ш)6=В<*>ЛЛ<‘>},
где Л<®) = ХХХХ ••• ХХХА (s — 1 сомножителей, равных
^), и из предыдущего вытекает, что эта вероятность, а также
и P№(jt, Л) являются ^-измеримыми функциями.
Обозначим а-алгебру, индуцируемую случайным временем т, через gT.
Теорема 5. Если D е и йсй„ то
pw{ Dn( П [?& + *)<= Л*]
= S Р(*> ( П [6 (**) S Л*] j Р<*> (х, D, dy), (15)
х \-i '
где PW (х, D, А) = Р<*> (D П [| (т) е Л]).
ЦЕПИ МАРКОВА СО СЧЕТНЫМ ЧИСЛОМ СОСТОЯНИИ
191
Доказательство. Так как D a QT, то Pw | D Г) + т) е Лй]^ | =
= I Р(х) { Ds П ( Д [6 (4 + т)е Л,]) } ,
где DS = D(] [т = «]. Пусть %{DS) — индикатор событияDs. Имеем, учитывая свойства условных вероятностей для марковской цепи (теорема 4):
PW { °s Л (lli11 {h + Т) ^ ^ =
= М,{/ (Ds) pw (4 + S) е Ak\ \ } =
= Мх | х (Ds) Р(|*> (ДII (4 + s) s Л*]) ].
В силу однородности цепи правая часть последнего равенства равна
$Р<4 П[1(4)еЛ]}йР<*> =
ds l*-i )
= J p(y) [ Q &) e ^ } p (s- A *y)> <16)
где P (s, x, D, •) есть мера, определяемая на {X, S} соотношением
Р (s, х, D, А) = PW {D П [т = s] П [6 (s) s А]}.
Если еще ввести меру
PW (х, D, Л) = Р<*> {D П К (т) е Л]} = I Р (s, х, D, А)
5= 1
и просуммировать равенства (16) по s, то получим требуемое. .щ
§ 6. Цепи Маркова со счетным числом состояний
Приводимость и неприводимость. Пусть X — счетное или конечное множество. Под а-алгеброй измеримых множеств X в этом случае условимся постоянно понимать совокупность всех подмножеств X. При этом измеримыми оказываются произвольные функции на X.
]92 СЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. III
Точки пространства X будем обозначать буквами i, /, ... Рассмотрим однородную марковскую цепь со значениями в X. Она задается вероятностями перехода за один шаг p{i,j),
г, /е/, в одноточечные множества /. Вероятность перехода за один шаг в произвольное множество В выражается через p(i,j) очевидной формулой
